Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24637 / 40539
↖ ↑ ↗
← S 39.210975°
W 44.664917°		 ← 473.25 m → S 39.210975°
W 44.659424°		 →
↑
473.24 m
↓
↑
473.24 m
↓
S 39.215231°
W 44.664917°		 ← 473.22 m →
223 954 m²		 S 39.215231°
W 44.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375938415527344 y=0.618583679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375938415527344 × 216)
    floor (0.375938415527344 × 65536)
    floor (24637.5)     		tx = 24637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618583679199219 × 216)
    floor (0.618583679199219 × 65536)
    floor (40539.5)     		ty = 40539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24637 / 40539 ti = "16/24637/40539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24637/40539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24637 ÷ 216
    24637 ÷ 65536     		x = 0.375930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40539 ÷ 216
    40539 ÷ 65536     		y = 0.618576049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.248138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77954986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618576049804688 × 2 - 1) × π
    -0.237152099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.745035293894913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77954986} λ = -0.77954986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745035293894913))-π/2
    2×atan(0.474717545013094)-π/2
    2×0.443217853274458-π/2
    0.886435706548917-1.57079632675     		φ = -0.68436062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77954986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.664917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68436062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.210975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24637 KachelY 40539 -0.77954986 -0.68436062 -44.664917 -39.210975
    Oben rechts KachelX + 1 24638 KachelY 40539 -0.77945399 -0.68436062 -44.659424 -39.210975
    Unten links KachelX 24637 KachelY + 1 40540 -0.77954986 -0.68443490 -44.664917 -39.215231
    Unten rechts KachelX + 1 24638 KachelY + 1 40540 -0.77945399 -0.68443490 -44.659424 -39.215231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68436062--0.68443490) × R
    7.42799999999821e-05 × 6371000     		dl = 473.237879999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68436062--0.68443490) × R
    7.42799999999821e-05 × 6371000     		dr = 473.237879999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77954986--0.77945399) × cos(-0.68436062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774823407240606 × 6371000     		do = 473.252661052281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77954986--0.77945399) × cos(-0.68443490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774776446941003 × 6371000     		du = 473.223978275608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68436062)-sin(-0.68443490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774823407240606-0.774776446941003)×R²
    abs(-0.77945399--0.77954986)×4.69602996029383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69602996029383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69602996029383e-05×40589641000000     		ar = 223954.299235651m²