Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24636 / 40121
↖ ↑ ↗
← S 37.409437°
W 44.670410°		 ← 485.21 m → S 37.409437°
W 44.664917°		 →
↑
485.15 m
↓
↑
485.15 m
↓
S 37.413800°
W 44.670410°		 ← 485.18 m →
235 393 m²		 S 37.413800°
W 44.664917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375923156738281 y=0.612205505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375923156738281 × 216)
    floor (0.375923156738281 × 65536)
    floor (24636.5)     		tx = 24636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612205505371094 × 216)
    floor (0.612205505371094 × 65536)
    floor (40121.5)     		ty = 40121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24636 / 40121 ti = "16/24636/40121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24636/40121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24636 ÷ 216
    24636 ÷ 65536     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40121 ÷ 216
    40121 ÷ 65536     		y = 0.612197875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612197875976562 × 2 - 1) × π
    -0.224395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.704960045812546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704960045812546))-π/2
    2×atan(0.494128316357127)-π/2
    2×0.458939238372882-π/2
    0.917878476745764-1.57079632675     		φ = -0.65291785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65291785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.409437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24636 KachelY 40121 -0.77964574 -0.65291785 -44.670410 -37.409437
    Oben rechts KachelX + 1 24637 KachelY 40121 -0.77954986 -0.65291785 -44.664917 -37.409437
    Unten links KachelX 24636 KachelY + 1 40122 -0.77964574 -0.65299400 -44.670410 -37.413800
    Unten rechts KachelX + 1 24637 KachelY + 1 40122 -0.77954986 -0.65299400 -44.664917 -37.413800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65291785--0.65299400) × R
    7.61499999999415e-05 × 6371000     		dl = 485.151649999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65291785--0.65299400) × R
    7.61499999999415e-05 × 6371000     		dr = 485.151649999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77954986) × cos(-0.65291785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.794314569034693 × 6371000     		do = 485.208230080086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77954986) × cos(-0.65299400) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.794268305098063 × 6371000     		du = 485.179969685925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65291785)-sin(-0.65299400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794314569034693-0.794268305098063)×R²
    abs(-0.77954986--0.77964574)×4.62639366300976e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.62639366300976e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.62639366300976e-05×40589641000000     		ar = 235392.718241989m²