Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24636 / 25292
↖ ↑ ↗
← S 69.457554°
E 90.659180°		 ← 428.67 m → S 69.457554°
E 90.670166°		 →
↑
428.64 m
↓
↑
428.64 m
↓
S 69.461408°
E 90.659180°		 ← 428.60 m →
183 731 m²		 S 69.461408°
E 90.670166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751846313476562 y=0.771865844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751846313476562 × 215)
    floor (0.751846313476562 × 32768)
    floor (24636.5)     		tx = 24636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771865844726562 × 215)
    floor (0.771865844726562 × 32768)
    floor (25292.5)     		ty = 25292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24636 / 25292 ti = "15/24636/25292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24636/25292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24636 ÷ 215
    24636 ÷ 32768     		x = 0.7518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25292 ÷ 215
    25292 ÷ 32768     		y = 0.7718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58230118} λ = 1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70808760726184))-π/2
    2×atan(0.181212009991784)-π/2
    2×0.179266662924463-π/2
    0.358533325848926-1.57079632675     		φ = -1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24636 KachelY 25292 1.58230118 -1.21226300 90.659180 -69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 24637 KachelY 25292 1.58249293 -1.21226300 90.670166 -69.457554
    Unten links KachelX 24636 KachelY + 1 25293 1.58230118 -1.21233028 90.659180 -69.461408
    Unten rechts KachelX + 1 24637 KachelY + 1 25293 1.58249293 -1.21233028 90.670166 -69.461408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21226300--1.21233028) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dl = 428.640879999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21226300--1.21233028) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dr = 428.640879999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58230118-1.58249293) × cos(-1.21226300) × R
    0.000191749999999935 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 428.674678888913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58230118-1.58249293) × cos(-1.21233028) × R
    0.000191749999999935 × 0.350838197453025 × 6371000     		du = 428.59771240772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21226300)-sin(-1.21233028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350838197453025)×R²
    abs(1.58249293-1.58230118)×6.30026263430672e-05×R²
    0.000191749999999935×6.30026263430672e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.30026263430672e-05×40589641000000     		ar = 183730.996171728m²