Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24634 / 40118
↖ ↑ ↗
← S 37.396346°
W 44.681396°		 ← 485.24 m → S 37.396346°
W 44.675903°		 →
↑
485.22 m
↓
↑
485.22 m
↓
S 37.400710°
W 44.681396°		 ← 485.21 m →
235 440 m²		 S 37.400710°
W 44.675903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375892639160156 y=0.612159729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375892639160156 × 216)
    floor (0.375892639160156 × 65536)
    floor (24634.5)     		tx = 24634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612159729003906 × 216)
    floor (0.612159729003906 × 65536)
    floor (40118.5)     		ty = 40118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24634 / 40118 ti = "16/24634/40118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24634/40118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24634 ÷ 216
    24634 ÷ 65536     		x = 0.375885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40118 ÷ 216
    40118 ÷ 65536     		y = 0.612152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.24822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.22430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.704672424414825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77983748} λ = -0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704672424414825))-π/2
    2×atan(0.494270458674737)-π/2
    2×0.459053479285648-π/2
    0.918106958571296-1.57079632675     		φ = -0.65268937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65268937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.396346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24634 KachelY 40118 -0.77983748 -0.65268937 -44.681396 -37.396346
    Oben rechts KachelX + 1 24635 KachelY 40118 -0.77974161 -0.65268937 -44.675903 -37.396346
    Unten links KachelX 24634 KachelY + 1 40119 -0.77983748 -0.65276553 -44.681396 -37.400710
    Unten rechts KachelX + 1 24635 KachelY + 1 40119 -0.77974161 -0.65276553 -44.675903 -37.400710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65268937--0.65276553) × R
    7.61599999999918e-05 × 6371000     		dl = 485.215359999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65268937--0.65276553) × R
    7.61599999999918e-05 × 6371000     		dr = 485.215359999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77983748--0.77974161) × cos(-0.65268937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794453351426731 × 6371000     		do = 485.242390886949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77983748--0.77974161) × cos(-0.65276553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794407095237131 × 6371000     		du = 485.214138172055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65268937)-sin(-0.65276553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794453351426731-0.794407095237131)×R²
    abs(-0.77974161--0.77983748)×4.62561895997471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62561895997471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62561895997471e-05×40589641000000     		ar = 235440.207169714m²