Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24632 / 25800
↖ ↑ ↗
← S 71.328950°
E 90.615234°		 ← 391.09 m → S 71.328950°
E 90.626221°		 →
↑
391.05 m
↓
↑
391.05 m
↓
S 71.332467°
E 90.615234°		 ← 391.02 m →
152 922 m²		 S 71.332467°
E 90.626221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751724243164062 y=0.787368774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751724243164062 × 215)
    floor (0.751724243164062 × 32768)
    floor (24632.5)     		tx = 24632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787368774414062 × 215)
    floor (0.787368774414062 × 32768)
    floor (25800.5)     		ty = 25800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24632 / 25800 ti = "15/24632/25800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24632/25800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24632 ÷ 215
    24632 ÷ 32768     		x = 0.751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25800 ÷ 215
    25800 ÷ 32768     		y = 0.787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751708984375 × 2 - 1) × π
    0.50341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58153419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.57470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80549538728979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58153419} λ = 1.58153419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80549538728979))-π/2
    2×atan(0.164392998200259)-π/2
    2×0.162935647107859-π/2
    0.325871294215719-1.57079632675     		φ = -1.24492503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58153419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.615234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24492503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.328950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24632 KachelY 25800 1.58153419 -1.24492503 90.615234 -71.328950
    Oben rechts KachelX + 1 24633 KachelY 25800 1.58172594 -1.24492503 90.626221 -71.328950
    Unten links KachelX 24632 KachelY + 1 25801 1.58153419 -1.24498641 90.615234 -71.332467
    Unten rechts KachelX + 1 24633 KachelY + 1 25801 1.58172594 -1.24498641 90.626221 -71.332467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24492503--1.24498641) × R
    6.13799999999998e-05 × 6371000     		dl = 391.051979999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24492503--1.24498641) × R
    6.13799999999998e-05 × 6371000     		dr = 391.051979999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58153419-1.58172594) × cos(-1.24492503) × R
    0.000191750000000157 × 0.320134349590218 × 6371000     		do = 391.088686732952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58153419-1.58172594) × cos(-1.24498641) × R
    0.000191750000000157 × 0.320076199284387 × 6371000     		du = 391.017648036949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24492503)-sin(-1.24498641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320134349590218-0.320076199284387)×R²
    abs(1.58172594-1.58153419)×5.81503058310062e-05×R²
    0.000191750000000157×5.81503058310062e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.81503058310062e-05×40589641000000     		ar = 152922.115439266m²