Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24628 / 29388
↖ ↑ ↗
← N 18.250220°
W 44.714356°		 ← 580.12 m → N 18.250220°
W 44.708862°		 →
↑
580.08 m
↓
↑
580.08 m
↓
N 18.245003°
W 44.714356°		 ← 580.14 m →
336 523 m²		 N 18.245003°
W 44.708862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375801086425781 y=0.448432922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375801086425781 × 216)
    floor (0.375801086425781 × 65536)
    floor (24628.5)     		tx = 24628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448432922363281 × 216)
    floor (0.448432922363281 × 65536)
    floor (29388.5)     		ty = 29388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24628 / 29388 ti = "16/24628/29388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24628/29388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24628 ÷ 216
    24628 ÷ 65536     		x = 0.37579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29388 ÷ 216
    29388 ÷ 65536     		y = 0.44842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.2484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78041273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44842529296875 × 2 - 1) × π
    0.1031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.32405344143158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78041273} λ = -0.78041273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32405344143158))-π/2
    2×atan(1.38272119974539)-π/2
    2×0.94466137729957-π/2
    1.88932275459914-1.57079632675     		φ = 0.31852643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78041273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.714356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31852643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.250220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24628 KachelY 29388 -0.78041273 0.31852643 -44.714356 18.250220
    Oben rechts KachelX + 1 24629 KachelY 29388 -0.78031685 0.31852643 -44.708862 18.250220
    Unten links KachelX 24628 KachelY + 1 29389 -0.78041273 0.31843538 -44.714356 18.245003
    Unten rechts KachelX + 1 24629 KachelY + 1 29389 -0.78031685 0.31843538 -44.708862 18.245003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31852643-0.31843538) × R
    9.10500000000369e-05 × 6371000     		dl = 580.079550000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31852643-0.31843538) × R
    9.10500000000369e-05 × 6371000     		dr = 580.079550000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78041273--0.78031685) × cos(0.31852643) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.949697923172651 × 6371000     		do = 580.124381923232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78041273--0.78031685) × cos(0.31843538) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.949726433132821 × 6371000     		du = 580.141797274596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31852643)-sin(0.31843538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949697923172651-0.949726433132821)×R²
    abs(-0.78031685--0.78041273)×2.8509960170009e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.8509960170009e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.8509960170009e-05×40589641000000     		ar = 336523.341787421m²