Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24625 / 29423
↖ ↑ ↗
← N 18.067535°
W 44.730835°		 ← 580.73 m → N 18.067535°
W 44.725342°		 →
↑
580.72 m
↓
↑
580.72 m
↓
N 18.062312°
W 44.730835°		 ← 580.75 m →
337 245 m²		 N 18.062312°
W 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375755310058594 y=0.448966979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375755310058594 × 216)
    floor (0.375755310058594 × 65536)
    floor (24625.5)     		tx = 24625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448966979980469 × 216)
    floor (0.448966979980469 × 65536)
    floor (29423.5)     		ty = 29423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24625 / 29423 ti = "16/24625/29423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24625/29423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24625 ÷ 216
    24625 ÷ 65536     		x = 0.375747680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29423 ÷ 216
    29423 ÷ 65536     		y = 0.448959350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375747680664062 × 2 - 1) × π
    -0.248504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78070035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448959350585938 × 2 - 1) × π
    0.102081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.320697858458176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78070035} λ = -0.78070035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320697858458176))-π/2
    2×atan(1.37808914000734)-π/2
    2×0.94306714739808-π/2
    1.88613429479616-1.57079632675     		φ = 0.31533797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78070035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.730835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31533797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.067535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24625 KachelY 29423 -0.78070035 0.31533797 -44.730835 18.067535
    Oben rechts KachelX + 1 24626 KachelY 29423 -0.78060447 0.31533797 -44.725342 18.067535
    Unten links KachelX 24625 KachelY + 1 29424 -0.78070035 0.31524682 -44.730835 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 24626 KachelY + 1 29424 -0.78060447 0.31524682 -44.725342 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31533797-0.31524682) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dl = 580.716650000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31533797-0.31524682) × R
    9.11500000000398e-05 × 6371000     		dr = 580.716650000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78070035--0.78060447) × cos(0.31533797) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.950691615941516 × 6371000     		do = 580.731380621758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78070035--0.78060447) × cos(0.31524682) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 580.748646406385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31533797)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950691615941516-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.78060447--0.78070035)×2.82651105740772e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.82651105740772e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.82651105740772e-05×40589641000000     		ar = 337245.395402296m²