Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24624 / 25266
↖ ↑ ↗
← S 69.357087°
E 90.527344°		 ← 430.68 m → S 69.357087°
E 90.538330°		 →
↑
430.62 m
↓
↑
430.62 m
↓
S 69.360959°
E 90.527344°		 ← 430.60 m →
185 441 m²		 S 69.360959°
E 90.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751480102539062 y=0.771072387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751480102539062 × 215)
    floor (0.751480102539062 × 32768)
    floor (24624.5)     		tx = 24624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771072387695312 × 215)
    floor (0.771072387695312 × 32768)
    floor (25266.5)     		ty = 25266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24624 / 25266 ti = "15/24624/25266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24624/25266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24624 ÷ 215
    24624 ÷ 32768     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25266 ÷ 215
    25266 ÷ 32768     		y = 0.77105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.5421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70310216970136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70310216970136))-π/2
    2×atan(0.182117686874732)-π/2
    2×0.180143405397334-π/2
    0.360286810794669-1.57079632675     		φ = -1.21050952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21050952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.357087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24624 KachelY 25266 1.58000021 -1.21050952 90.527344 -69.357087
    Oben rechts KachelX + 1 24625 KachelY 25266 1.58019196 -1.21050952 90.538330 -69.357087
    Unten links KachelX 24624 KachelY + 1 25267 1.58000021 -1.21057711 90.527344 -69.360959
    Unten rechts KachelX + 1 24625 KachelY + 1 25267 1.58019196 -1.21057711 90.538330 -69.360959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21050952--1.21057711) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dl = 430.61589000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21050952--1.21057711) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dr = 430.61589000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58019196) × cos(-1.21050952) × R
    0.000191750000000157 × 0.352542640351052 × 6371000     		do = 430.679926751832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58019196) × cos(-1.21057711) × R
    0.000191750000000157 × 0.352479389111042 × 6371000     		du = 430.602656554424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21050952)-sin(-1.21057711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352542640351052-0.352479389111042)×R²
    abs(1.58019196-1.58000021)×6.32512400103868e-05×R²
    0.000191750000000157×6.32512400103868e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.32512400103868e-05×40589641000000     		ar = 185440.983146268m²