Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24623 / 25264
↖ ↑ ↗
← S 69.349338°
E 90.516357°		 ← 430.83 m → S 69.349338°
E 90.527344°		 →
↑
430.81 m
↓
↑
430.81 m
↓
S 69.353213°
E 90.516357°		 ← 430.76 m →
185 590 m²		 S 69.353213°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751449584960938 y=0.771011352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751449584960938 × 215)
    floor (0.751449584960938 × 32768)
    floor (24623.5)     		tx = 24623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771011352539062 × 215)
    floor (0.771011352539062 × 32768)
    floor (25264.5)     		ty = 25264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24623 / 25264 ti = "15/24623/25264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24623/25264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24623 ÷ 215
    24623 ÷ 32768     		x = 0.751434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25264 ÷ 215
    25264 ÷ 32768     		y = 0.77099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751434326171875 × 2 - 1) × π
    0.50286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57980846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57980846} λ = 1.57980846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70271867450439))-π/2
    2×atan(0.182187541526536)-π/2
    2×0.180211016733717-π/2
    0.360422033467434-1.57079632675     		φ = -1.21037429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57980846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.516357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21037429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.349338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24623 KachelY 25264 1.57980846 -1.21037429 90.516357 -69.349338
    Oben rechts KachelX + 1 24624 KachelY 25264 1.58000021 -1.21037429 90.527344 -69.349338
    Unten links KachelX 24623 KachelY + 1 25265 1.57980846 -1.21044191 90.516357 -69.353213
    Unten rechts KachelX + 1 24624 KachelY + 1 25265 1.58000021 -1.21044191 90.527344 -69.353213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21037429--1.21044191) × R
    6.76199999998239e-05 × 6371000     		dl = 430.807019998878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21037429--1.21044191) × R
    6.76199999998239e-05 × 6371000     		dr = 430.807019998878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57980846-1.58000021) × cos(-1.21037429) × R
    0.000191749999999935 × 0.352669184786511 × 6371000     		do = 430.834518400559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57980846-1.58000021) × cos(-1.21044191) × R
    0.000191749999999935 × 0.352605908695942 × 6371000     		du = 430.757217844733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21037429)-sin(-1.21044191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352669184786511-0.352605908695942)×R²
    abs(1.58000021-1.57980846)×6.32760905694418e-05×R²
    0.000191749999999935×6.32760905694418e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.32760905694418e-05×40589641000000     		ar = 185589.884244766m²