Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24622 / 29422
↖ ↑ ↗
← N 18.072757°
W 44.747315°		 ← 580.71 m → N 18.072757°
W 44.741821°		 →
↑
580.65 m
↓
↑
580.65 m
↓
N 18.067535°
W 44.747315°		 ← 580.73 m →
337 198 m²		 N 18.067535°
W 44.741821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375709533691406 y=0.448951721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375709533691406 × 216)
    floor (0.375709533691406 × 65536)
    floor (24622.5)     		tx = 24622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448951721191406 × 216)
    floor (0.448951721191406 × 65536)
    floor (29422.5)     		ty = 29422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24622 / 29422 ti = "16/24622/29422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24622/29422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24622 ÷ 216
    24622 ÷ 65536     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29422 ÷ 216
    29422 ÷ 65536     		y = 0.448944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448944091796875 × 2 - 1) × π
    0.10211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320793732257416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320793732257416))-π/2
    2×atan(1.37822126898264)-π/2
    2×0.943112719929078-π/2
    1.88622543985816-1.57079632675     		φ = 0.31542911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31542911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.072757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24622 KachelY 29422 -0.78098797 0.31542911 -44.747315 18.072757
    Oben rechts KachelX + 1 24623 KachelY 29422 -0.78089209 0.31542911 -44.741821 18.072757
    Unten links KachelX 24622 KachelY + 1 29423 -0.78098797 0.31533797 -44.747315 18.067535
    Unten rechts KachelX + 1 24623 KachelY + 1 29423 -0.78089209 0.31533797 -44.741821 18.067535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31542911-0.31533797) × R
    9.11399999999896e-05 × 6371000     		dl = 580.652939999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31542911-0.31533797) × R
    9.11399999999896e-05 × 6371000     		dr = 580.652939999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78089209) × cos(0.31542911) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950663346034534 × 6371000     		do = 580.714111906566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78089209) × cos(0.31533797) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950691615941516 × 6371000     		du = 580.731380621086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31542911)-sin(0.31533797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950663346034534-0.950691615941516)×R²
    abs(-0.78089209--0.78098797)×2.82699069821257e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.82699069821257e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.82699069821257e-05×40589641000000     		ar = 337198.370176539m²