Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24622 / 29421
↖ ↑ ↗
← N 18.077979°
W 44.747315°		 ← 580.70 m → N 18.077979°
W 44.741821°		 →
↑
580.72 m
↓
↑
580.72 m
↓
N 18.072757°
W 44.747315°		 ← 580.71 m →
337 225 m²		 N 18.072757°
W 44.741821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375709533691406 y=0.448936462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375709533691406 × 216)
    floor (0.375709533691406 × 65536)
    floor (24622.5)     		tx = 24622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		ty = 29421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24622 / 29421 ti = "16/24622/29421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24622/29421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24622 ÷ 216
    24622 ÷ 65536     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		y = 0.448928833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    0.102142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.320889606056656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320889606056656))-π/2
    2×atan(1.37835341062625)-π/2
    2×0.943158291104659-π/2
    1.88631658220932-1.57079632675     		φ = 0.31552026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31552026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.077979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24622 KachelY 29421 -0.78098797 0.31552026 -44.747315 18.077979
    Oben rechts KachelX + 1 24623 KachelY 29421 -0.78089209 0.31552026 -44.741821 18.077979
    Unten links KachelX 24622 KachelY + 1 29422 -0.78098797 0.31542911 -44.747315 18.072757
    Unten rechts KachelX + 1 24623 KachelY + 1 29422 -0.78089209 0.31542911 -44.741821 18.072757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31552026-0.31542911) × R
    9.11499999999843e-05 × 6371000     		dl = 580.7166499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31552026-0.31542911) × R
    9.11499999999843e-05 × 6371000     		dr = 580.7166499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78089209) × cos(0.31552026) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950635065127756 × 6371000     		do = 580.696836472806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78089209) × cos(0.31542911) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.950663346034534 × 6371000     		du = 580.714111906566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31552026)-sin(0.31542911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950635065127756-0.950663346034534)×R²
    abs(-0.78089209--0.78098797)×2.82809067776446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.82809067776446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.82809067776446e-05×40589641000000     		ar = 337225.337841331m²