Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24622 / 25277
↖ ↑ ↗
← S 69.399649°
E 90.505371°		 ← 429.81 m → S 69.399649°
E 90.516357°		 →
↑
429.79 m
↓
↑
429.79 m
↓
S 69.403514°
E 90.505371°		 ← 429.73 m →
184 710 m²		 S 69.403514°
E 90.516357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751419067382812 y=0.771408081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751419067382812 × 215)
    floor (0.751419067382812 × 32768)
    floor (24622.5)     		tx = 24622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771408081054688 × 215)
    floor (0.771408081054688 × 32768)
    floor (25277.5)     		ty = 25277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24622 / 25277 ti = "15/24622/25277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24622/25277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24622 ÷ 215
    24622 ÷ 32768     		x = 0.75140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25277 ÷ 215
    25277 ÷ 32768     		y = 0.771392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    0.5028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57961672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.54278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70521139328464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57961672} λ = 1.57961672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70521139328464))-π/2
    2×atan(0.181733964774754)-π/2
    2×0.179771976486266-π/2
    0.359543952972531-1.57079632675     		φ = -1.21125237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57961672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21125237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.399649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24622 KachelY 25277 1.57961672 -1.21125237 90.505371 -69.399649
    Oben rechts KachelX + 1 24623 KachelY 25277 1.57980846 -1.21125237 90.516357 -69.399649
    Unten links KachelX 24622 KachelY + 1 25278 1.57961672 -1.21131983 90.505371 -69.403514
    Unten rechts KachelX + 1 24623 KachelY + 1 25278 1.57980846 -1.21131983 90.516357 -69.403514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21125237--1.21131983) × R
    6.74600000001302e-05 × 6371000     		dl = 429.787660000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21125237--1.21131983) × R
    6.74600000001302e-05 × 6371000     		dr = 429.787660000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57961672-1.57980846) × cos(-1.21125237) × R
    0.000191739999999996 × 0.351847387270581 × 6371000     		do = 429.808162102639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57961672-1.57980846) × cos(-1.21131983) × R
    0.000191739999999996 × 0.351784240039264 × 6371000     		du = 429.731022989444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21125237)-sin(-1.21131983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351847387270581-0.351784240039264)×R²
    abs(1.57980846-1.57961672)×6.31472313166181e-05×R²
    0.000191739999999996×6.31472313166181e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.31472313166181e-05×40589641000000     		ar = 184709.667590083m²