Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24622 / 25265
↖ ↑ ↗
← S 69.353213°
E 90.505371°		 ← 430.73 m → S 69.353213°
E 90.516357°		 →
↑
430.74 m
↓
↑
430.74 m
↓
S 69.357087°
E 90.505371°		 ← 430.66 m →
185 519 m²		 S 69.357087°
E 90.516357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751419067382812 y=0.771041870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751419067382812 × 215)
    floor (0.751419067382812 × 32768)
    floor (24622.5)     		tx = 24622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771041870117188 × 215)
    floor (0.771041870117188 × 32768)
    floor (25265.5)     		ty = 25265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24622 / 25265 ti = "15/24622/25265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24622/25265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24622 ÷ 215
    24622 ÷ 32768     		x = 0.75140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25265 ÷ 215
    25265 ÷ 32768     		y = 0.771026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    0.5028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57961672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.54205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70291042210287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57961672} λ = 1.57961672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70291042210287))-π/2
    2×atan(0.182152610852018)-π/2
    2×0.180177208032616-π/2
    0.360354416065232-1.57079632675     		φ = -1.21044191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57961672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21044191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.353213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24622 KachelY 25265 1.57961672 -1.21044191 90.505371 -69.353213
    Oben rechts KachelX + 1 24623 KachelY 25265 1.57980846 -1.21044191 90.516357 -69.353213
    Unten links KachelX 24622 KachelY + 1 25266 1.57961672 -1.21050952 90.505371 -69.357087
    Unten rechts KachelX + 1 24623 KachelY + 1 25266 1.57980846 -1.21050952 90.516357 -69.357087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21044191--1.21050952) × R
    6.76100000001068e-05 × 6371000     		dl = 430.74331000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21044191--1.21050952) × R
    6.76100000001068e-05 × 6371000     		dr = 430.74331000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57961672-1.57980846) × cos(-1.21044191) × R
    0.000191739999999996 × 0.352605908695942 × 6371000     		do = 430.734753322427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57961672-1.57980846) × cos(-1.21050952) × R
    0.000191739999999996 × 0.352542640351052 × 6371000     		du = 430.657466259853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21044191)-sin(-1.21050952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352605908695942-0.352542640351052)×R²
    abs(1.57980846-1.57961672)×6.32683448901217e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32683448901217e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32683448901217e-05×40589641000000     		ar = 185519.468006497m²