Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24621 / 57325
↖ ↑ ↗
← S 79.151709°
W 44.752807°		 ← 114.96 m → S 79.151709°
W 44.747315°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 79.152743°
W 44.752807°		 ← 114.95 m →
13 212 m²		 S 79.152743°
W 44.747315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375694274902344 y=0.874717712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375694274902344 × 216)
    floor (0.375694274902344 × 65536)
    floor (24621.5)     		tx = 24621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874717712402344 × 216)
    floor (0.874717712402344 × 65536)
    floor (57325.5)     		ty = 57325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24621 / 57325 ti = "16/24621/57325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24621/57325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24621 ÷ 216
    24621 ÷ 65536     		x = 0.375686645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57325 ÷ 216
    57325 ÷ 65536     		y = 0.874710083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375686645507812 × 2 - 1) × π
    -0.248626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78108384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.749420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35437288793944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78108384} λ = -0.78108384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35437288793944))-π/2
    2×atan(0.0949530340603038)-π/2
    2×0.0946691999194092-π/2
    0.189338399838818-1.57079632675     		φ = -1.38145793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78108384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.752807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38145793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.151709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24621 KachelY 57325 -0.78108384 -1.38145793 -44.752807 -79.151709
    Oben rechts KachelX + 1 24622 KachelY 57325 -0.78098797 -1.38145793 -44.747315 -79.151709
    Unten links KachelX 24621 KachelY + 1 57326 -0.78108384 -1.38147597 -44.752807 -79.152743
    Unten rechts KachelX + 1 24622 KachelY + 1 57326 -0.78098797 -1.38147597 -44.747315 -79.152743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38145793--1.38147597) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38145793--1.38147597) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78108384--0.78098797) × cos(-1.38145793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188209156540976 × 6371000     		do = 114.955851017241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78108384--0.78098797) × cos(-1.38147597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188191438903736 × 6371000     		du = 114.945029301101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38145793)-sin(-1.38147597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188209156540976-0.188191438903736)×R²
    abs(-0.78098797--0.78108384)×1.77176372405108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77176372405108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77176372405108e-05×40589641000000     		ar = 13211.5805470812m²