Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24620 / 40540
↖ ↑ ↗
← S 39.215231°
W 44.758301°		 ← 473.27 m → S 39.215231°
W 44.752807°		 →
↑
473.24 m
↓
↑
473.24 m
↓
S 39.219487°
W 44.758301°		 ← 473.24 m →
223 964 m²		 S 39.219487°
W 44.752807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375679016113281 y=0.618598937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375679016113281 × 216)
    floor (0.375679016113281 × 65536)
    floor (24620.5)     		tx = 24620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618598937988281 × 216)
    floor (0.618598937988281 × 65536)
    floor (40540.5)     		ty = 40540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24620 / 40540 ti = "16/24620/40540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24620/40540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24620 ÷ 216
    24620 ÷ 65536     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40540 ÷ 216
    40540 ÷ 65536     		y = 0.61859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.2371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.745131167694153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745131167694153))-π/2
    2×atan(0.474672034220169)-π/2
    2×0.443180711768175-π/2
    0.88636142353635-1.57079632675     		φ = -0.68443490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68443490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.215231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24620 KachelY 40540 -0.78117972 -0.68443490 -44.758301 -39.215231
    Oben rechts KachelX + 1 24621 KachelY 40540 -0.78108384 -0.68443490 -44.752807 -39.215231
    Unten links KachelX 24620 KachelY + 1 40541 -0.78117972 -0.68450918 -44.758301 -39.219487
    Unten rechts KachelX + 1 24621 KachelY + 1 40541 -0.78108384 -0.68450918 -44.752807 -39.219487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68443490--0.68450918) × R
    7.42800000000932e-05 × 6371000     		dl = 473.237880000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68443490--0.68450918) × R
    7.42800000000932e-05 × 6371000     		dr = 473.237880000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.68443490) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.774776446941003 × 6371000     		do = 473.273339283291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.68450918) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.774729482366557 × 6371000     		du = 473.244650903483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68443490)-sin(-0.68450918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774776446941003-0.774729482366557)×R²
    abs(-0.78108384--0.78117972)×4.69645744461955e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69645744461955e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69645744461955e-05×40589641000000     		ar = 223964.083632086m²