Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24620 / 40116
↖ ↑ ↗
← S 37.387617°
W 44.758301°		 ← 485.35 m → S 37.387617°
W 44.752807°		 →
↑
485.34 m
↓
↑
485.34 m
↓
S 37.391982°
W 44.758301°		 ← 485.32 m →
235 554 m²		 S 37.391982°
W 44.752807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375679016113281 y=0.612129211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375679016113281 × 216)
    floor (0.375679016113281 × 65536)
    floor (24620.5)     		tx = 24620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612129211425781 × 216)
    floor (0.612129211425781 × 65536)
    floor (40116.5)     		ty = 40116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24620 / 40116 ti = "16/24620/40116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24620/40116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24620 ÷ 216
    24620 ÷ 65536     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40116 ÷ 216
    40116 ÷ 65536     		y = 0.61212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.704480676816345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704480676816345))-π/2
    2×atan(0.494365242935225)-π/2
    2×0.459129650981708-π/2
    0.918259301963415-1.57079632675     		φ = -0.65253702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65253702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.387617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24620 KachelY 40116 -0.78117972 -0.65253702 -44.758301 -37.387617
    Oben rechts KachelX + 1 24621 KachelY 40116 -0.78108384 -0.65253702 -44.752807 -37.387617
    Unten links KachelX 24620 KachelY + 1 40117 -0.78117972 -0.65261320 -44.758301 -37.391982
    Unten rechts KachelX + 1 24621 KachelY + 1 40117 -0.78108384 -0.65261320 -44.752807 -37.391982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65253702--0.65261320) × R
    7.61799999999813e-05 × 6371000     		dl = 485.342779999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65253702--0.65261320) × R
    7.61799999999813e-05 × 6371000     		dr = 485.342779999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.65253702) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.794545868197475 × 6371000     		do = 485.349519516556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.65261320) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.794499609080874 × 6371000     		du = 485.321262066717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65253702)-sin(-0.65261320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794545868197475-0.794499609080874)×R²
    abs(-0.78108384--0.78117972)×4.62591166012771e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62591166012771e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62591166012771e-05×40589641000000     		ar = 235554.027912944m²