Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24619 / 29427
↖ ↑ ↗
← N 18.046644°
W 44.763794°		 ← 580.74 m → N 18.046644°
W 44.758301°		 →
↑
580.78 m
↓
↑
580.78 m
↓
N 18.041421°
W 44.763794°		 ← 580.76 m →
337 287 m²		 N 18.041421°
W 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375663757324219 y=0.449028015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375663757324219 × 216)
    floor (0.375663757324219 × 65536)
    floor (24619.5)     		tx = 24619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449028015136719 × 216)
    floor (0.449028015136719 × 65536)
    floor (29427.5)     		ty = 29427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24619 / 29427 ti = "16/24619/29427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24619/29427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24619 ÷ 216
    24619 ÷ 65536     		x = 0.375656127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29427 ÷ 216
    29427 ÷ 65536     		y = 0.449020385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375656127929688 × 2 - 1) × π
    -0.248687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78127559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    0.101959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320314363261215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78127559} λ = -0.78127559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320314363261215))-π/2
    2×atan(1.37756075076501)-π/2
    2×0.942884843726696-π/2
    1.88576968745339-1.57079632675     		φ = 0.31497336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78127559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.763794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31497336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.046644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24619 KachelY 29427 -0.78127559 0.31497336 -44.763794 18.046644
    Oben rechts KachelX + 1 24620 KachelY 29427 -0.78117972 0.31497336 -44.758301 18.046644
    Unten links KachelX 24619 KachelY + 1 29428 -0.78127559 0.31488220 -44.763794 18.041421
    Unten rechts KachelX + 1 24620 KachelY + 1 29428 -0.78117972 0.31488220 -44.758301 18.041421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31497336-0.31488220) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dl = 580.780359999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31497336-0.31488220) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dr = 580.780359999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78127559--0.78117972) × cos(0.31497336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950804632087461 × 6371000     		do = 580.739840938358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78127559--0.78117972) × cos(0.31488220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950832868697255 × 6371000     		du = 580.757087514286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31497336)-sin(0.31488220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950804632087461-0.950832868697255)×R²
    abs(-0.78117972--0.78127559)×2.82366097941189e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82366097941189e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82366097941189e-05×40589641000000     		ar = 337287.302356398m²