Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24618 / 57323
↖ ↑ ↗
← S 79.149641°
W 44.769287°		 ← 114.98 m → S 79.149641°
W 44.763794°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
S 79.150675°
W 44.769287°		 ← 114.97 m →
13 221 m²		 S 79.150675°
W 44.763794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375648498535156 y=0.874687194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375648498535156 × 216)
    floor (0.375648498535156 × 65536)
    floor (24618.5)     		tx = 24618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874687194824219 × 216)
    floor (0.874687194824219 × 65536)
    floor (57323.5)     		ty = 57323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24618 / 57323 ti = "16/24618/57323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24618/57323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24618 ÷ 216
    24618 ÷ 65536     		x = 0.375640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57323 ÷ 216
    57323 ÷ 65536     		y = 0.874679565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.24871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78137146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874679565429688 × 2 - 1) × π
    -0.749359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35418114034096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78137146} λ = -0.78137146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35418114034096))-π/2
    2×atan(0.0949712428222407)-π/2
    2×0.0946872459457497-π/2
    0.189374491891499-1.57079632675     		φ = -1.38142183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78137146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38142183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.149641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24618 KachelY 57323 -0.78137146 -1.38142183 -44.769287 -79.149641
    Oben rechts KachelX + 1 24619 KachelY 57323 -0.78127559 -1.38142183 -44.763794 -79.149641
    Unten links KachelX 24618 KachelY + 1 57324 -0.78137146 -1.38143988 -44.769287 -79.150675
    Unten rechts KachelX + 1 24619 KachelY + 1 57324 -0.78127559 -1.38143988 -44.763794 -79.150675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38142183--1.38143988) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38142183--1.38143988) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78137146--0.78127559) × cos(-1.38142183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188244611274142 × 6371000     		do = 114.977506334647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78137146--0.78127559) × cos(-1.38143988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188226883938221 × 6371000     		du = 114.966678694673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38142183)-sin(-1.38143988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188244611274142-0.188226883938221)×R²
    abs(-0.78127559--0.78137146)×1.77273359203145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77273359203145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77273359203145e-05×40589641000000     		ar = 13221.3939857908m²