Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24616 / 25416
↖ ↑ ↗
← S 69.930300°
E 90.439453°		 ← 419.22 m → S 69.930300°
E 90.450440°		 →
↑
419.21 m
↓
↑
419.21 m
↓
S 69.934070°
E 90.439453°		 ← 419.15 m →
175 727 m²		 S 69.934070°
E 90.450440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751235961914062 y=0.775650024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751235961914062 × 215)
    floor (0.751235961914062 × 32768)
    floor (24616.5)     		tx = 24616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775650024414062 × 215)
    floor (0.775650024414062 × 32768)
    floor (25416.5)     		ty = 25416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24616 / 25416 ti = "15/24616/25416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24616/25416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24616 ÷ 215
    24616 ÷ 32768     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25416 ÷ 215
    25416 ÷ 32768     		y = 0.775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73186430947339))-π/2
    2×atan(0.176954204862781)-π/2
    2×0.175141170914831-π/2
    0.350282341829662-1.57079632675     		φ = -1.22051398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22051398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24616 KachelY 25416 1.57846623 -1.22051398 90.439453 -69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 24617 KachelY 25416 1.57865798 -1.22051398 90.450440 -69.930300
    Unten links KachelX 24616 KachelY + 1 25417 1.57846623 -1.22057978 90.439453 -69.934070
    Unten rechts KachelX + 1 24617 KachelY + 1 25417 1.57865798 -1.22057978 90.450440 -69.934070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22051398--1.22057978) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dl = 419.21180000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22051398--1.22057978) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dr = 419.21180000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.57865798) × cos(-1.22051398) × R
    0.000191749999999935 × 0.343163022658756 × 6371000     		do = 419.221417628434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.57865798) × cos(-1.22057978) × R
    0.000191749999999935 × 0.343101217564372 × 6371000     		du = 419.145914099284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22051398)-sin(-1.22057978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163022658756-0.343101217564372)×R²
    abs(1.57865798-1.57846623)×6.1805094384082e-05×R²
    0.000191749999999935×6.1805094384082e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.1805094384082e-05×40589641000000     		ar = 175726.739160669m²