Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24614 / 57332
↖ ↑ ↗
← S 79.158944°
W 44.791260°		 ← 114.88 m → S 79.158944°
W 44.785767°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 79.159977°
W 44.791260°		 ← 114.87 m →
13 196 m²		 S 79.159977°
W 44.785767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375587463378906 y=0.874824523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375587463378906 × 216)
    floor (0.375587463378906 × 65536)
    floor (24614.5)     		tx = 24614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874824523925781 × 216)
    floor (0.874824523925781 × 65536)
    floor (57332.5)     		ty = 57332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24614 / 57332 ti = "16/24614/57332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24614/57332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24614 ÷ 216
    24614 ÷ 65536     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57332 ÷ 216
    57332 ÷ 65536     		y = 0.87481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.7496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35504400453412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35504400453412))-π/2
    2×atan(0.0948893308819517)-π/2
    2×0.0946060655833949-π/2
    0.18921213116679-1.57079632675     		φ = -1.38158420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38158420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.158944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24614 KachelY 57332 -0.78175496 -1.38158420 -44.791260 -79.158944
    Oben rechts KachelX + 1 24615 KachelY 57332 -0.78165909 -1.38158420 -44.785767 -79.158944
    Unten links KachelX 24614 KachelY + 1 57333 -0.78175496 -1.38160223 -44.791260 -79.159977
    Unten rechts KachelX + 1 24615 KachelY + 1 57333 -0.78165909 -1.38160223 -44.785767 -79.159977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38158420--1.38160223) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38158420--1.38160223) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(-1.38158420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18808514161587 × 6371000     		do = 114.880104217689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(-1.38160223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188067433371629 × 6371000     		du = 114.869288238678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38158420)-sin(-1.38160223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18808514161587-0.188067433371629)×R²
    abs(-0.78165909--0.78175496)×1.770824424141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.770824424141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.770824424141e-05×40589641000000     		ar = 13195.556414848m²