Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24614 / 29400
↖ ↑ ↗
← N 18.187607°
W 44.791260°		 ← 580.27 m → N 18.187607°
W 44.785767°		 →
↑
580.33 m
↓
↑
580.33 m
↓
N 18.182388°
W 44.791260°		 ← 580.29 m →
336 757 m²		 N 18.182388°
W 44.785767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375587463378906 y=0.448616027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375587463378906 × 216)
    floor (0.375587463378906 × 65536)
    floor (24614.5)     		tx = 24614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448616027832031 × 216)
    floor (0.448616027832031 × 65536)
    floor (29400.5)     		ty = 29400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24614 / 29400 ti = "16/24614/29400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24614/29400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24614 ÷ 216
    24614 ÷ 65536     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29400 ÷ 216
    29400 ÷ 65536     		y = 0.4486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    0.102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322902955840698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322902955840698))-π/2
    2×atan(1.38113131367475)-π/2
    2×0.944114972092227-π/2
    1.88822994418445-1.57079632675     		φ = 0.31743362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31743362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.187607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24614 KachelY 29400 -0.78175496 0.31743362 -44.791260 18.187607
    Oben rechts KachelX + 1 24615 KachelY 29400 -0.78165909 0.31743362 -44.785767 18.187607
    Unten links KachelX 24614 KachelY + 1 29401 -0.78175496 0.31734253 -44.791260 18.182388
    Unten rechts KachelX + 1 24615 KachelY + 1 29401 -0.78165909 0.31734253 -44.785767 18.182388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31743362-0.31734253) × R
    9.10900000000159e-05 × 6371000     		dl = 580.334390000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31743362-0.31734253) × R
    9.10900000000159e-05 × 6371000     		dr = 580.334390000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(0.31743362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950039588550197 × 6371000     		do = 580.27256170228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(0.31734253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950068016478384 × 6371000     		du = 580.289925133143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31743362)-sin(0.31734253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950039588550197-0.950068016478384)×R²
    abs(-0.78165909--0.78175496)×2.84279281868027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84279281868027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84279281868027e-05×40589641000000     		ar = 336757.161660121m²