Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24614 / 29399
↖ ↑ ↗
← N 18.192825°
W 44.791260°		 ← 580.26 m → N 18.192825°
W 44.785767°		 →
↑
580.27 m
↓
↑
580.27 m
↓
N 18.187607°
W 44.791260°		 ← 580.27 m →
336 710 m²		 N 18.187607°
W 44.785767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375587463378906 y=0.448600769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375587463378906 × 216)
    floor (0.375587463378906 × 65536)
    floor (24614.5)     		tx = 24614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448600769042969 × 216)
    floor (0.448600769042969 × 65536)
    floor (29399.5)     		ty = 29399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24614 / 29399 ti = "16/24614/29399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24614/29399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24614 ÷ 216
    24614 ÷ 65536     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29399 ÷ 216
    29399 ÷ 65536     		y = 0.448593139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448593139648438 × 2 - 1) × π
    0.102813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322998829639938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322998829639938))-π/2
    2×atan(1.38126373432877)-π/2
    2×0.944160513363179-π/2
    1.88832102672636-1.57079632675     		φ = 0.31752470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31752470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.192825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24614 KachelY 29399 -0.78175496 0.31752470 -44.791260 18.192825
    Oben rechts KachelX + 1 24615 KachelY 29399 -0.78165909 0.31752470 -44.785767 18.192825
    Unten links KachelX 24614 KachelY + 1 29400 -0.78175496 0.31743362 -44.791260 18.187607
    Unten rechts KachelX + 1 24615 KachelY + 1 29400 -0.78165909 0.31743362 -44.785767 18.187607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31752470-0.31743362) × R
    9.10799999999656e-05 × 6371000     		dl = 580.270679999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31752470-0.31743362) × R
    9.10799999999656e-05 × 6371000     		dr = 580.270679999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(0.31752470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950011155861323 × 6371000     		do = 580.255195363647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78165909) × cos(0.31743362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950039588550197 × 6371000     		du = 580.27256170228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31752470)-sin(0.31743362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950011155861323-0.950039588550197)×R²
    abs(-0.78165909--0.78175496)×2.84326888742026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84326888742026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84326888742026e-05×40589641000000     		ar = 336710.115608411m²