Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24613 / 40541
↖ ↑ ↗
← S 39.219487°
W 44.796753°		 ← 473.20 m → S 39.219487°
W 44.791260°		 →
↑
473.24 m
↓
↑
473.24 m
↓
S 39.223743°
W 44.796753°		 ← 473.17 m →
223 927 m²		 S 39.223743°
W 44.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375572204589844 y=0.618614196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375572204589844 × 216)
    floor (0.375572204589844 × 65536)
    floor (24613.5)     		tx = 24613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618614196777344 × 216)
    floor (0.618614196777344 × 65536)
    floor (40541.5)     		ty = 40541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24613 / 40541 ti = "16/24613/40541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24613/40541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24613 ÷ 216
    24613 ÷ 65536     		x = 0.375564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40541 ÷ 216
    40541 ÷ 65536     		y = 0.618606567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375564575195312 × 2 - 1) × π
    -0.248870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78185083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618606567382812 × 2 - 1) × π
    -0.237213134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745227041493393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78185083} λ = -0.78185083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745227041493393))-π/2
    2×atan(0.474626527790327)-π/2
    2×0.443143572513149-π/2
    0.886287145026297-1.57079632675     		φ = -0.68450918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78185083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68450918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.219487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24613 KachelY 40541 -0.78185083 -0.68450918 -44.796753 -39.219487
    Oben rechts KachelX + 1 24614 KachelY 40541 -0.78175496 -0.68450918 -44.791260 -39.219487
    Unten links KachelX 24613 KachelY + 1 40542 -0.78185083 -0.68458346 -44.796753 -39.223743
    Unten rechts KachelX + 1 24614 KachelY + 1 40542 -0.78175496 -0.68458346 -44.791260 -39.223743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68450918--0.68458346) × R
    7.42799999999821e-05 × 6371000     		dl = 473.237879999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68450918--0.68458346) × R
    7.42799999999821e-05 × 6371000     		dr = 473.237879999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78185083--0.78175496) × cos(-0.68450918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774729482366557 × 6371000     		do = 473.195292887913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78185083--0.78175496) × cos(-0.68458346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774682513517526 × 6371000     		du = 473.166604889354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68450918)-sin(-0.68458346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774729482366557-0.774682513517526)×R²
    abs(-0.78175496--0.78185083)×4.69688490303266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69688490303266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69688490303266e-05×40589641000000     		ar = 223927.149211198m²