Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24611 / 57334
↖ ↑ ↗
← S 79.161010°
W 44.807739°		 ← 114.86 m → S 79.161010°
W 44.802246°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 79.162043°
W 44.807739°		 ← 114.85 m →
13 193 m²		 S 79.162043°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375541687011719 y=0.874855041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375541687011719 × 216)
    floor (0.375541687011719 × 65536)
    floor (24611.5)     		tx = 24611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874855041503906 × 216)
    floor (0.874855041503906 × 65536)
    floor (57334.5)     		ty = 57334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24611 / 57334 ti = "16/24611/57334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24611/57334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24611 ÷ 216
    24611 ÷ 65536     		x = 0.375534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57334 ÷ 216
    57334 ÷ 65536     		y = 0.874847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375534057617188 × 2 - 1) × π
    -0.248931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78204258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.74969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3552357521326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78204258} λ = -0.78204258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3552357521326))-π/2
    2×atan(0.0948711378249269)-π/2
    2×0.0945880348437565-π/2
    0.189176069687513-1.57079632675     		φ = -1.38162026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78204258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.807739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38162026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.161010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24611 KachelY 57334 -0.78204258 -1.38162026 -44.807739 -79.161010
    Oben rechts KachelX + 1 24612 KachelY 57334 -0.78194671 -1.38162026 -44.802246 -79.161010
    Unten links KachelX 24611 KachelY + 1 57335 -0.78204258 -1.38163829 -44.807739 -79.162043
    Unten rechts KachelX + 1 24612 KachelY + 1 57335 -0.78194671 -1.38163829 -44.802246 -79.162043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38162026--1.38163829) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38162026--1.38163829) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78204258--0.78194671) × cos(-1.38162026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18804972506625 × 6371000     		do = 114.858472222326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78204258--0.78194671) × cos(-1.38163829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18803201669974 × 6371000     		du = 114.847656168635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38162026)-sin(-1.38163829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18804972506625-0.18803201669974)×R²
    abs(-0.78194671--0.78204258)×1.77083665099109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77083665099109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77083665099109e-05×40589641000000     		ar = 13193.0715623278m²