Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24610 / 57314
↖ ↑ ↗
← S 79.140331°
W 44.813232°		 ← 115.07 m → S 79.140331°
W 44.807739°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 79.141365°
W 44.813232°		 ← 115.06 m →
13 240 m²		 S 79.141365°
W 44.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375526428222656 y=0.874549865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375526428222656 × 216)
    floor (0.375526428222656 × 65536)
    floor (24610.5)     		tx = 24610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874549865722656 × 216)
    floor (0.874549865722656 × 65536)
    floor (57314.5)     		ty = 57314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24610 / 57314 ti = "16/24610/57314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24610/57314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24610 ÷ 216
    24610 ÷ 65536     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57314 ÷ 216
    57314 ÷ 65536     		y = 0.874542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.74908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3533182761478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3533182761478))-π/2
    2×atan(0.0950532254719118)-π/2
    2×0.0947684951325908-π/2
    0.189536990265182-1.57079632675     		φ = -1.38125934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38125934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.140331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24610 KachelY 57314 -0.78213845 -1.38125934 -44.813232 -79.140331
    Oben rechts KachelX + 1 24611 KachelY 57314 -0.78204258 -1.38125934 -44.807739 -79.140331
    Unten links KachelX 24610 KachelY + 1 57315 -0.78213845 -1.38127740 -44.813232 -79.141365
    Unten rechts KachelX + 1 24611 KachelY + 1 57315 -0.78204258 -1.38127740 -44.807739 -79.141365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38125934--1.38127740) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dl = 115.060260000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38125934--1.38127740) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dr = 115.060260000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78204258) × cos(-1.38125934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188404193820519 × 6371000     		do = 115.07497740228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78204258) × cos(-1.38127740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188386457215968 × 6371000     		du = 115.064144101139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38125934)-sin(-1.38127740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188404193820519-0.188386457215968)×R²
    abs(-0.78204258--0.78213845)×1.77366045512051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77366045512051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77366045512051e-05×40589641000000     		ar = 13239.9335786012m²