Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24596 / 40084
↖ ↑ ↗
← S 37.247821°
W 44.890137°		 ← 486.25 m → S 37.247821°
W 44.884643°		 →
↑
486.17 m
↓
↑
486.17 m
↓
S 37.252193°
W 44.890137°		 ← 486.22 m →
236 395 m²		 S 37.252193°
W 44.884643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375312805175781 y=0.611640930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375312805175781 × 216)
    floor (0.375312805175781 × 65536)
    floor (24596.5)     		tx = 24596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611640930175781 × 216)
    floor (0.611640930175781 × 65536)
    floor (40084.5)     		ty = 40084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24596 / 40084 ti = "16/24596/40084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24596/40084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24596 ÷ 216
    24596 ÷ 65536     		x = 0.37530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40084 ÷ 216
    40084 ÷ 65536     		y = 0.61163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2232666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.701412715240662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78348069} λ = -0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.701412715240662))-π/2
    2×atan(0.495884265464811)-π/2
    2×0.460349603824791-π/2
    0.920699207649583-1.57079632675     		φ = -0.65009712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65009712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.247821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24596 KachelY 40084 -0.78348069 -0.65009712 -44.890137 -37.247821
    Oben rechts KachelX + 1 24597 KachelY 40084 -0.78338481 -0.65009712 -44.884643 -37.247821
    Unten links KachelX 24596 KachelY + 1 40085 -0.78348069 -0.65017343 -44.890137 -37.252193
    Unten rechts KachelX + 1 24597 KachelY + 1 40085 -0.78338481 -0.65017343 -44.884643 -37.252193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65009712--0.65017343) × R
    7.63100000000794e-05 × 6371000     		dl = 486.171010000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65009712--0.65017343) × R
    7.63100000000794e-05 × 6371000     		dr = 486.171010000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78348069--0.78338481) × cos(-0.65009712) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.796025019090975 × 6371000     		do = 486.253061028431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78348069--0.78338481) × cos(-0.65017343) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.795978829098945 × 6371000     		du = 486.224845803439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65009712)-sin(-0.65017343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796025019090975-0.795978829098945)×R²
    abs(-0.78338481--0.78348069)×4.61899920298769e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.61899920298769e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.61899920298769e-05×40589641000000     		ar = 236395.283198439m²