Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24586 / 57358
↖ ↑ ↗
← S 79.185774°
W 44.945069°		 ← 114.61 m → S 79.185774°
W 44.939575°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 79.186804°
W 44.945069°		 ← 114.60 m →
13 128 m²		 S 79.186804°
W 44.939575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375160217285156 y=0.875221252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375160217285156 × 216)
    floor (0.375160217285156 × 65536)
    floor (24586.5)     		tx = 24586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875221252441406 × 216)
    floor (0.875221252441406 × 65536)
    floor (57358.5)     		ty = 57358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24586 / 57358 ti = "16/24586/57358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24586/57358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24586 ÷ 216
    24586 ÷ 65536     		x = 0.375152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57358 ÷ 216
    57358 ÷ 65536     		y = 0.875213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.24969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78443943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.75042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35753672331436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78443943} λ = -0.78443943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35753672331436))-π/2
    2×atan(0.0946530930244144)-π/2
    2×0.0943719306293407-π/2
    0.188743861258681-1.57079632675     		φ = -1.38205247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78443943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.945069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38205247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.185774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24586 KachelY 57358 -0.78443943 -1.38205247 -44.945069 -79.185774
    Oben rechts KachelX + 1 24587 KachelY 57358 -0.78434355 -1.38205247 -44.939575 -79.185774
    Unten links KachelX 24586 KachelY + 1 57359 -0.78443943 -1.38207045 -44.945069 -79.186804
    Unten rechts KachelX + 1 24587 KachelY + 1 57359 -0.78434355 -1.38207045 -44.939575 -79.186804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38205247--1.38207045) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38205247--1.38207045) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78443943--0.78434355) × cos(-1.38205247) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18762520835377 × 6371000     		do = 114.611136208266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78443943--0.78434355) × cos(-1.38207045) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		du = 114.600348132534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38205247)-sin(-1.38207045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18762520835377-0.187607547635763)×R²
    abs(-0.78434355--0.78443943)×1.76607180071287e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76607180071287e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76607180071287e-05×40589641000000     		ar = 13128.1542374126m²