Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24586 / 40940
↖ ↑ ↗
← S 40.896906°
W 44.945069°		 ← 461.74 m → S 40.896906°
W 44.939575°		 →
↑
461.71 m
↓
↑
461.71 m
↓
S 40.901058°
W 44.945069°		 ← 461.71 m →
213 180 m²		 S 40.901058°
W 44.939575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375160217285156 y=0.624702453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375160217285156 × 216)
    floor (0.375160217285156 × 65536)
    floor (24586.5)     		tx = 24586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624702453613281 × 216)
    floor (0.624702453613281 × 65536)
    floor (40940.5)     		ty = 40940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24586 / 40940 ti = "16/24586/40940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24586/40940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24586 ÷ 216
    24586 ÷ 65536     		x = 0.375152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40940 ÷ 216
    40940 ÷ 65536     		y = 0.62469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.24969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78443943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.783480687390198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78443943} λ = -0.78443943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783480687390198))-π/2
    2×atan(0.456813216899866)-π/2
    2×0.42850533357259-π/2
    0.85701066714518-1.57079632675     		φ = -0.71378566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78443943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.945069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71378566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.896906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24586 KachelY 40940 -0.78443943 -0.71378566 -44.945069 -40.896906
    Oben rechts KachelX + 1 24587 KachelY 40940 -0.78434355 -0.71378566 -44.939575 -40.896906
    Unten links KachelX 24586 KachelY + 1 40941 -0.78443943 -0.71385813 -44.945069 -40.901058
    Unten rechts KachelX + 1 24587 KachelY + 1 40941 -0.78434355 -0.71385813 -44.939575 -40.901058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71378566--0.71385813) × R
    7.24699999999912e-05 × 6371000     		dl = 461.706369999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71378566--0.71385813) × R
    7.24699999999912e-05 × 6371000     		dr = 461.706369999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78443943--0.78434355) × cos(-0.71378566) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.75588882673133 × 6371000     		do = 461.735808524528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78443943--0.78434355) × cos(-0.71385813) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.755841378637909 × 6371000     		du = 461.706824786439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71378566)-sin(-0.71385813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75588882673133-0.755841378637909)×R²
    abs(-0.78434355--0.78443943)×4.74480934213872e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74480934213872e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74480934213872e-05×40589641000000     		ar = 213179.673157834m²