Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24580 / 40750
↖ ↑ ↗
← S 40.103286°
W 44.978027°		 ← 467.23 m → S 40.103286°
W 44.972534°		 →
↑
467.19 m
↓
↑
467.19 m
↓
S 40.107487°
W 44.978027°		 ← 467.20 m →
218 277 m²		 S 40.107487°
W 44.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375068664550781 y=0.621803283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375068664550781 × 216)
    floor (0.375068664550781 × 65536)
    floor (24580.5)     		tx = 24580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621803283691406 × 216)
    floor (0.621803283691406 × 65536)
    floor (40750.5)     		ty = 40750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24580 / 40750 ti = "16/24580/40750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24580/40750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24580 ÷ 216
    24580 ÷ 65536     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40750 ÷ 216
    40750 ÷ 65536     		y = 0.621795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.24359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.765264665534576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765264665534576))-π/2
    2×atan(0.465210789417097)-π/2
    2×0.435430973381131-π/2
    0.870861946762261-1.57079632675     		φ = -0.69993438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69993438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.103286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24580 KachelY 40750 -0.78501467 -0.69993438 -44.978027 -40.103286
    Oben rechts KachelX + 1 24581 KachelY 40750 -0.78491879 -0.69993438 -44.972534 -40.103286
    Unten links KachelX 24580 KachelY + 1 40751 -0.78501467 -0.70000771 -44.978027 -40.107487
    Unten rechts KachelX + 1 24581 KachelY + 1 40751 -0.78491879 -0.70000771 -44.972534 -40.107487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69993438--0.70000771) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dl = 467.185429999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69993438--0.70000771) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dr = 467.185429999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78491879) × cos(-0.69993438) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.764884459202395 × 6371000     		do = 467.230803933017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78491879) × cos(-0.70000771) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.764837220343387 × 6371000     		du = 467.201948006079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69993438)-sin(-0.70000771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764884459202395-0.764837220343387)×R²
    abs(-0.78491879--0.78501467)×4.72388590081474e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72388590081474e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72388590081474e-05×40589641000000     		ar = 218276.683608399m²