Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24580 / 40732
↖ ↑ ↗
← S 40.027614°
W 44.978027°		 ← 467.75 m → S 40.027614°
W 44.972534°		 →
↑
467.76 m
↓
↑
467.76 m
↓
S 40.031821°
W 44.978027°		 ← 467.72 m →
218 787 m²		 S 40.031821°
W 44.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375068664550781 y=0.621528625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375068664550781 × 216)
    floor (0.375068664550781 × 65536)
    floor (24580.5)     		tx = 24580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621528625488281 × 216)
    floor (0.621528625488281 × 65536)
    floor (40732.5)     		ty = 40732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24580 / 40732 ti = "16/24580/40732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24580/40732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24580 ÷ 216
    24580 ÷ 65536     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40732 ÷ 216
    40732 ÷ 65536     		y = 0.62152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.2430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.763538937148254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763538937148254))-π/2
    2×atan(0.466014310011751)-π/2
    2×0.436091331579324-π/2
    0.872182663158648-1.57079632675     		φ = -0.69861366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69861366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.027614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24580 KachelY 40732 -0.78501467 -0.69861366 -44.978027 -40.027614
    Oben rechts KachelX + 1 24581 KachelY 40732 -0.78491879 -0.69861366 -44.972534 -40.027614
    Unten links KachelX 24580 KachelY + 1 40733 -0.78501467 -0.69868708 -44.978027 -40.031821
    Unten rechts KachelX + 1 24581 KachelY + 1 40733 -0.78491879 -0.69868708 -44.972534 -40.031821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69861366--0.69868708) × R
    7.34199999999907e-05 × 6371000     		dl = 467.758819999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69861366--0.69868708) × R
    7.34199999999907e-05 × 6371000     		dr = 467.758819999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78491879) × cos(-0.69861366) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.765734556757189 × 6371000     		do = 467.750087282508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78491879) × cos(-0.69868708) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.765687334125743 × 6371000     		du = 467.721241268199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69861366)-sin(-0.69868708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765734556757189-0.765687334125743)×R²
    abs(-0.78491879--0.78501467)×4.72226314464086e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72226314464086e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72226314464086e-05×40589641000000     		ar = 218787.482491309m²