Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24577 / 40725
↖ ↑ ↗
← S 39.998164°
W 44.994507°		 ← 467.90 m → S 39.998164°
W 44.989014°		 →
↑
467.89 m
↓
↑
467.89 m
↓
S 40.002372°
W 44.994507°		 ← 467.87 m →
218 919 m²		 S 40.002372°
W 44.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375022888183594 y=0.621421813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375022888183594 × 216)
    floor (0.375022888183594 × 65536)
    floor (24577.5)     		tx = 24577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621421813964844 × 216)
    floor (0.621421813964844 × 65536)
    floor (40725.5)     		ty = 40725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24577 / 40725 ti = "16/24577/40725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24577/40725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24577 ÷ 216
    24577 ÷ 65536     		x = 0.375015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40725 ÷ 216
    40725 ÷ 65536     		y = 0.621414184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.249969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78530229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621414184570312 × 2 - 1) × π
    -0.242828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762867820553574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78530229} λ = -0.78530229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762867820553574))-π/2
    2×atan(0.466327164917876)-π/2
    2×0.436348335613048-π/2
    0.872696671226095-1.57079632675     		φ = -0.69809966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78530229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69809966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.998164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24577 KachelY 40725 -0.78530229 -0.69809966 -44.994507 -39.998164
    Oben rechts KachelX + 1 24578 KachelY 40725 -0.78520642 -0.69809966 -44.989014 -39.998164
    Unten links KachelX 24577 KachelY + 1 40726 -0.78530229 -0.69817310 -44.994507 -40.002372
    Unten rechts KachelX + 1 24578 KachelY + 1 40726 -0.78520642 -0.69817310 -44.989014 -40.002372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69809966--0.69817310) × R
    7.34399999999802e-05 × 6371000     		dl = 467.886239999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69809966--0.69817310) × R
    7.34399999999802e-05 × 6371000     		dr = 467.886239999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78530229--0.78520642) × cos(-0.69809966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766065038153546 × 6371000     		do = 467.903156328759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78530229--0.78520642) × cos(-0.69817310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766017831568257 × 6371000     		du = 467.874323123801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69809966)-sin(-0.69817310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766065038153546-0.766017831568257)×R²
    abs(-0.78520642--0.78530229)×4.72065852882286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72065852882286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72065852882286e-05×40589641000000     		ar = 218918.703267263m²