Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24568 / 40108
↖ ↑ ↗
← S 37.352693°
W 45.043945°		 ← 485.52 m → S 37.352693°
W 45.038452°		 →
↑
485.53 m
↓
↑
485.53 m
↓
S 37.357059°
W 45.043945°		 ← 485.50 m →
235 732 m²		 S 37.357059°
W 45.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374885559082031 y=0.612007141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374885559082031 × 216)
    floor (0.374885559082031 × 65536)
    floor (24568.5)     		tx = 24568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612007141113281 × 216)
    floor (0.612007141113281 × 65536)
    floor (40108.5)     		ty = 40108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24568 / 40108 ti = "16/24568/40108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24568/40108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24568 ÷ 216
    24568 ÷ 65536     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40108 ÷ 216
    40108 ÷ 65536     		y = 0.61199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.703713686422424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703713686422424))-π/2
    2×atan(0.494744561776003)-π/2
    2×0.459434426450402-π/2
    0.918868852900804-1.57079632675     		φ = -0.65192747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65192747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.352693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24568 KachelY 40108 -0.78616515 -0.65192747 -45.043945 -37.352693
    Oben rechts KachelX + 1 24569 KachelY 40108 -0.78606928 -0.65192747 -45.038452 -37.352693
    Unten links KachelX 24568 KachelY + 1 40109 -0.78616515 -0.65200368 -45.043945 -37.357059
    Unten rechts KachelX + 1 24569 KachelY + 1 40109 -0.78606928 -0.65200368 -45.038452 -37.357059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65192747--0.65200368) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dl = 485.533910000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65192747--0.65200368) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dr = 485.533910000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78606928) × cos(-0.65192747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794915841848701 × 6371000     		do = 485.52487438043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78606928) × cos(-0.65200368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794869601431358 × 6371000     		du = 485.496631299038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65192747)-sin(-0.65200368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794915841848701-0.794869601431358)×R²
    abs(-0.78606928--0.78616515)×4.6240417342247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6240417342247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6240417342247e-05×40589641000000     		ar = 235731.934287426m²