Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24566 / 40093
↖ ↑ ↗
← S 37.287165°
W 45.054932°		 ← 485.95 m → S 37.287165°
W 45.049439°		 →
↑
485.98 m
↓
↑
485.98 m
↓
S 37.291536°
W 45.054932°		 ← 485.92 m →
236 154 m²		 S 37.291536°
W 45.049439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374855041503906 y=0.611778259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374855041503906 × 216)
    floor (0.374855041503906 × 65536)
    floor (24566.5)     		tx = 24566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611778259277344 × 216)
    floor (0.611778259277344 × 65536)
    floor (40093.5)     		ty = 40093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24566 / 40093 ti = "16/24566/40093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24566/40093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24566 ÷ 216
    24566 ÷ 65536     		x = 0.374847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40093 ÷ 216
    40093 ÷ 65536     		y = 0.611770629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611770629882812 × 2 - 1) × π
    -0.223541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.702275579433823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78635690} λ = -0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.702275579433823))-π/2
    2×atan(0.495456569236606)-π/2
    2×0.460006262773164-π/2
    0.920012525546328-1.57079632675     		φ = -0.65078380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65078380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.287165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24566 KachelY 40093 -0.78635690 -0.65078380 -45.054932 -37.287165
    Oben rechts KachelX + 1 24567 KachelY 40093 -0.78626103 -0.65078380 -45.049439 -37.287165
    Unten links KachelX 24566 KachelY + 1 40094 -0.78635690 -0.65086008 -45.054932 -37.291536
    Unten rechts KachelX + 1 24567 KachelY + 1 40094 -0.78626103 -0.65086008 -45.049439 -37.291536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65078380--0.65086008) × R
    7.62799999999286e-05 × 6371000     		dl = 485.979879999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65078380--0.65086008) × R
    7.62799999999286e-05 × 6371000     		dr = 485.979879999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78635690--0.78626103) × cos(-0.65078380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.795609208958789 × 6371000     		do = 485.948374531392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78635690--0.78626103) × cos(-0.65086008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.79556299544284 × 6371000     		du = 485.920147881042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65078380)-sin(-0.65086008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.795609208958789-0.79556299544284)×R²
    abs(-0.78626103--0.78635690)×4.62135159491339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62135159491339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62135159491339e-05×40589641000000     		ar = 236154.274063007m²