Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24557 / 40074
↖ ↑ ↗
← S 37.204082°
W 45.104370°		 ← 486.54 m → S 37.204082°
W 45.098877°		 →
↑
486.49 m
↓
↑
486.49 m
↓
S 37.208457°
W 45.104370°		 ← 486.51 m →
236 687 m²		 S 37.208457°
W 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374717712402344 y=0.611488342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374717712402344 × 216)
    floor (0.374717712402344 × 65536)
    floor (24557.5)     		tx = 24557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611488342285156 × 216)
    floor (0.611488342285156 × 65536)
    floor (40074.5)     		ty = 40074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24557 / 40074 ti = "16/24557/40074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24557/40074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24557 ÷ 216
    24557 ÷ 65536     		x = 0.374710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40074 ÷ 216
    40074 ÷ 65536     		y = 0.611480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.250579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78721977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.22296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.700453977248261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78721977} λ = -0.78721977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.700453977248261))-π/2
    2×atan(0.496359916525884)-π/2
    2×0.460731304239959-π/2
    0.921462608479919-1.57079632675     		φ = -0.64933372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78721977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64933372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.204082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24557 KachelY 40074 -0.78721977 -0.64933372 -45.104370 -37.204082
    Oben rechts KachelX + 1 24558 KachelY 40074 -0.78712389 -0.64933372 -45.098877 -37.204082
    Unten links KachelX 24557 KachelY + 1 40075 -0.78721977 -0.64941008 -45.104370 -37.208457
    Unten rechts KachelX + 1 24558 KachelY + 1 40075 -0.78712389 -0.64941008 -45.098877 -37.208457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64933372--0.64941008) × R
    7.63599999999975e-05 × 6371000     		dl = 486.489559999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64933372--0.64941008) × R
    7.63599999999975e-05 × 6371000     		dr = 486.489559999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78721977--0.78712389) × cos(-0.64933372) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.796486845415285 × 6371000     		do = 486.535168322139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78721977--0.78712389) × cos(-0.64941008) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.796440671572012 × 6371000     		du = 486.506962961638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64933372)-sin(-0.64941008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796486845415285-0.796440671572012)×R²
    abs(-0.78712389--0.78721977)×4.61738432726566e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.61738432726566e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.61738432726566e-05×40589641000000     		ar = 236687.419269895m²