Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24555 / 40107
↖ ↑ ↗
← S 37.348326°
W 45.115356°		 ← 485.55 m → S 37.348326°
W 45.109863°		 →
↑
485.53 m
↓
↑
485.53 m
↓
S 37.352693°
W 45.115356°		 ← 485.52 m →
235 746 m²		 S 37.352693°
W 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374687194824219 y=0.611991882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374687194824219 × 216)
    floor (0.374687194824219 × 65536)
    floor (24555.5)     		tx = 24555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611991882324219 × 216)
    floor (0.611991882324219 × 65536)
    floor (40107.5)     		ty = 40107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24555 / 40107 ti = "16/24555/40107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24555/40107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24555 ÷ 216
    24555 ÷ 65536     		x = 0.374679565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40107 ÷ 216
    40107 ÷ 65536     		y = 0.611984252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374679565429688 × 2 - 1) × π
    -0.250640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78741151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611984252929688 × 2 - 1) × π
    -0.223968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.703617812623184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78741151} λ = -0.78741151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703617812623184))-π/2
    2×atan(0.494791997090659)-π/2
    2×0.45947253335947-π/2
    0.918945066718939-1.57079632675     		φ = -0.65185126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78741151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.115356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65185126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.348326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24555 KachelY 40107 -0.78741151 -0.65185126 -45.115356 -37.348326
    Oben rechts KachelX + 1 24556 KachelY 40107 -0.78731564 -0.65185126 -45.109863 -37.348326
    Unten links KachelX 24555 KachelY + 1 40108 -0.78741151 -0.65192747 -45.115356 -37.352693
    Unten rechts KachelX + 1 24556 KachelY + 1 40108 -0.78731564 -0.65192747 -45.109863 -37.352693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65185126--0.65192747) × R
    7.620999999991e-05 × 6371000     		dl = 485.533909999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65185126--0.65192747) × R
    7.620999999991e-05 × 6371000     		dr = 485.533909999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78741151--0.78731564) × cos(-0.65185126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7949620776492 × 6371000     		do = 485.553114641911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78741151--0.78731564) × cos(-0.65192747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.794915841848701 × 6371000     		du = 485.52487438043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65185126)-sin(-0.65192747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7949620776492-0.794915841848701)×R²
    abs(-0.78731564--0.78741151)×4.62358004995611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62358004995611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62358004995611e-05×40589641000000     		ar = 235745.646576451m²