Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24554 / 40068
↖ ↑ ↗
← S 37.177826°
W 45.120850°		 ← 486.70 m → S 37.177826°
W 45.115356°		 →
↑
486.62 m
↓
↑
486.62 m
↓
S 37.182202°
W 45.120850°		 ← 486.68 m →
236 832 m²		 S 37.182202°
W 45.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374671936035156 y=0.611396789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374671936035156 × 216)
    floor (0.374671936035156 × 65536)
    floor (24554.5)     		tx = 24554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611396789550781 × 216)
    floor (0.611396789550781 × 65536)
    floor (40068.5)     		ty = 40068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24554 / 40068 ti = "16/24554/40068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24554/40068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24554 ÷ 216
    24554 ÷ 65536     		x = 0.374664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40068 ÷ 216
    40068 ÷ 65536     		y = 0.61138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.25067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78750739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.69987873445282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78750739} λ = -0.78750739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.69987873445282))-π/2
    2×atan(0.496645526131369)-π/2
    2×0.460960430737508-π/2
    0.921920861475017-1.57079632675     		φ = -0.64887547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78750739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.120850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64887547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.177826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24554 KachelY 40068 -0.78750739 -0.64887547 -45.120850 -37.177826
    Oben rechts KachelX + 1 24555 KachelY 40068 -0.78741151 -0.64887547 -45.115356 -37.177826
    Unten links KachelX 24554 KachelY + 1 40069 -0.78750739 -0.64895185 -45.120850 -37.182202
    Unten rechts KachelX + 1 24555 KachelY + 1 40069 -0.78741151 -0.64895185 -45.115356 -37.182202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64887547--0.64895185) × R
    7.6379999999987e-05 × 6371000     		dl = 486.616979999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64887547--0.64895185) × R
    7.6379999999987e-05 × 6371000     		dr = 486.616979999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78750739--0.78741151) × cos(-0.64887547) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.79676384532358 × 6371000     		do = 486.704374126644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78750739--0.78741151) × cos(-0.64895185) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.796717687267958 × 6371000     		du = 486.676178410053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64887547)-sin(-0.64895185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79676384532358-0.796717687267958)×R²
    abs(-0.78741151--0.78750739)×4.61580556225805e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.61580556225805e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.61580556225805e-05×40589641000000     		ar = 236831.752548298m²