Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24553 / 40067
↖ ↑ ↗
← S 37.173448°
W 45.126343°		 ← 486.68 m → S 37.173448°
W 45.120850°		 →
↑
486.74 m
↓
↑
486.74 m
↓
S 37.177826°
W 45.126343°		 ← 486.65 m →
236 883 m²		 S 37.177826°
W 45.120850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374656677246094 y=0.611381530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374656677246094 × 216)
    floor (0.374656677246094 × 65536)
    floor (24553.5)     		tx = 24553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611381530761719 × 216)
    floor (0.611381530761719 × 65536)
    floor (40067.5)     		ty = 40067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24553 / 40067 ti = "16/24553/40067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24553/40067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24553 ÷ 216
    24553 ÷ 65536     		x = 0.374649047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40067 ÷ 216
    40067 ÷ 65536     		y = 0.611373901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374649047851562 × 2 - 1) × π
    -0.250701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78760326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611373901367188 × 2 - 1) × π
    -0.222747802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.69978286065358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78760326} λ = -0.78760326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.69978286065358))-π/2
    2×atan(0.496693143707437)-π/2
    2×0.460998626232511-π/2
    0.921997252465021-1.57079632675     		φ = -0.64879907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78760326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.126343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64879907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.173448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24553 KachelY 40067 -0.78760326 -0.64879907 -45.126343 -37.173448
    Oben rechts KachelX + 1 24554 KachelY 40067 -0.78750739 -0.64879907 -45.120850 -37.173448
    Unten links KachelX 24553 KachelY + 1 40068 -0.78760326 -0.64887547 -45.126343 -37.177826
    Unten rechts KachelX + 1 24554 KachelY + 1 40068 -0.78750739 -0.64887547 -45.120850 -37.177826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64879907--0.64887547) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dl = 486.74439999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64879907--0.64887547) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dr = 486.74439999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78760326--0.78750739) × cos(-0.64879907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.796810010815557 × 6371000     		do = 486.6818096197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78760326--0.78750739) × cos(-0.64887547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.79676384532358 × 6371000     		du = 486.653612301804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64879907)-sin(-0.64887547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796810010815557-0.79676384532358)×R²
    abs(-0.78750739--0.78760326)×4.61654919773347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61654919773347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61654919773347e-05×40589641000000     		ar = 236882.783085994m²