Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24553 / 25703
S 70.984770°
E 89.747314°
← 398.03 m → S 70.984770°
E 89.758301°

397.93 m

397.93 m
S 70.988349°
E 89.747314°
← 397.96 m →
158 376 m²
S 70.988349°
E 89.758301°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749313354492188 y=0.784408569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749313354492188 × 215)
    floor (0.749313354492188 × 32768)
    floor (24553.5)
    tx = 24553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784408569335938 × 215)
    floor (0.784408569335938 × 32768)
    floor (25703.5)
    ty = 25703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24553 / 25703 ti = "15/24553/25703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24553/25703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24553 ÷ 215
    24553 ÷ 32768
    x = 0.749298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25703 ÷ 215
    25703 ÷ 32768
    y = 0.784393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.749298095703125 × 2 - 1) × π
    0.49859619140625 × 3.1415926535
    Λ = 1.56638613
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.784393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.56878662109375 × 3.1415926535
    Φ = -1.78689587023721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56638613} λ = 1.56638613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78689587023721))-π/2
    2×atan(0.16747924091436)-π/2
    2×0.165939185867133-π/2
    0.331878371734266-1.57079632675
    φ = -1.23891796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56638613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.747314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23891796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.984770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24553 KachelY 25703 1.56638613 -1.23891796 89.747314 -70.984770
    Oben rechts KachelX + 1 24554 KachelY 25703 1.56657788 -1.23891796 89.758301 -70.984770
    Unten links KachelX 24553 KachelY + 1 25704 1.56638613 -1.23898042 89.747314 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 24554 KachelY + 1 25704 1.56657788 -1.23898042 89.758301 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.23891796--1.23898042) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000
    dl = 397.932660000621m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.23891796--1.23898042) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000
    dr = 397.932660000621m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.56638613-1.56657788) × cos(-1.23891796) × R
    0.000191750000000157 × 0.325819470220403 × 6371000
    do = 398.033853235776m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.56638613-1.56657788) × cos(-1.23898042) × R
    0.000191750000000157 × 0.325760417901964 × 6371000
    du = 397.961712605768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.23891796)-sin(-1.23898042))×
    abs(λ12)×abs(0.325819470220403-0.325760417901964)×
    abs(1.56657788-1.56638613)×5.90523184384462e-05×
    0.000191750000000157×5.90523184384462e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.90523184384462e-05×40589641000000
    ar = 158376.316483852m²