Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24552 / 25719
↖ ↑ ↗
← S 71.041960°
E 89.736328°		 ← 396.88 m → S 71.041960°
E 89.747314°		 →
↑
396.85 m
↓
↑
396.85 m
↓
S 71.045529°
E 89.736328°		 ← 396.81 m →
157 488 m²		 S 71.045529°
E 89.747314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749282836914062 y=0.784896850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749282836914062 × 215)
    floor (0.749282836914062 × 32768)
    floor (24552.5)     		tx = 24552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784896850585938 × 215)
    floor (0.784896850585938 × 32768)
    floor (25719.5)     		ty = 25719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24552 / 25719 ti = "15/24552/25719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24552/25719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24552 ÷ 215
    24552 ÷ 32768     		x = 0.749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25719 ÷ 215
    25719 ÷ 32768     		y = 0.784881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56619438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.56976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7899638318129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56619438} λ = 1.56619438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7899638318129))-π/2
    2×atan(0.166966208422901)-π/2
    2×0.165440109283358-π/2
    0.330880218566716-1.57079632675     		φ = -1.23991611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56619438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23991611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.041960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24552 KachelY 25719 1.56619438 -1.23991611 89.736328 -71.041960
    Oben rechts KachelX + 1 24553 KachelY 25719 1.56638613 -1.23991611 89.747314 -71.041960
    Unten links KachelX 24552 KachelY + 1 25720 1.56619438 -1.23997840 89.736328 -71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 24553 KachelY + 1 25720 1.56638613 -1.23997840 89.747314 -71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23991611--1.23997840) × R
    6.22900000000204e-05 × 6371000     		dl = 396.84959000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23991611--1.23997840) × R
    6.22900000000204e-05 × 6371000     		dr = 396.84959000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56619438-1.56638613) × cos(-1.23991611) × R
    0.000191749999999935 × 0.324875625115515 × 6371000     		do = 396.880815009264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56619438-1.56638613) × cos(-1.23997840) × R
    0.000191749999999935 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 396.808846019959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23991611)-sin(-1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324875625115515-0.324816713297394)×R²
    abs(1.56638613-1.56619438)×5.89118181205661e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89118181205661e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89118181205661e-05×40589641000000     		ar = 157487.708334759m²