Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24551 / 40923
↖ ↑ ↗
← S 40.826280°
W 45.137329°		 ← 462.23 m → S 40.826280°
W 45.131836°		 →
↑
462.22 m
↓
↑
462.22 m
↓
S 40.830437°
W 45.137329°		 ← 462.20 m →
213 643 m²		 S 40.830437°
W 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374626159667969 y=0.624443054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374626159667969 × 216)
    floor (0.374626159667969 × 65536)
    floor (24551.5)     		tx = 24551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624443054199219 × 216)
    floor (0.624443054199219 × 65536)
    floor (40923.5)     		ty = 40923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24551 / 40923 ti = "16/24551/40923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24551/40923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24551 ÷ 216
    24551 ÷ 65536     		x = 0.374618530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40923 ÷ 216
    40923 ÷ 65536     		y = 0.624435424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374618530273438 × 2 - 1) × π
    -0.250762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78779501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624435424804688 × 2 - 1) × π
    -0.248870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.781850832803116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78779501} λ = -0.78779501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781850832803116))-π/2
    2×atan(0.457558363091888)-π/2
    2×0.429121656622753-π/2
    0.858243313245506-1.57079632675     		φ = -0.71255301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78779501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.137329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71255301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.826280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24551 KachelY 40923 -0.78779501 -0.71255301 -45.137329 -40.826280
    Oben rechts KachelX + 1 24552 KachelY 40923 -0.78769913 -0.71255301 -45.131836 -40.826280
    Unten links KachelX 24551 KachelY + 1 40924 -0.78779501 -0.71262556 -45.137329 -40.830437
    Unten rechts KachelX + 1 24552 KachelY + 1 40924 -0.78769913 -0.71262556 -45.131836 -40.830437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71255301--0.71262556) × R
    7.2549999999949e-05 × 6371000     		dl = 462.216049999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71255301--0.71262556) × R
    7.2549999999949e-05 × 6371000     		dr = 462.216049999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78779501--0.78769913) × cos(-0.71255301) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.756695268215573 × 6371000     		do = 462.228424498176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78779501--0.78769913) × cos(-0.71262556) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.756647835373912 × 6371000     		du = 462.199450076647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71255301)-sin(-0.71262556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756695268215573-0.756647835373912)×R²
    abs(-0.78769913--0.78779501)×4.74328416613101e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74328416613101e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74328416613101e-05×40589641000000     		ar = 213642.700441242m²