Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24550 / 40918
↖ ↑ ↗
← S 40.805494°
W 45.142822°		 ← 462.33 m → S 40.805494°
W 45.137329°		 →
↑
462.34 m
↓
↑
462.34 m
↓
S 40.809652°
W 45.142822°		 ← 462.30 m →
213 746 m²		 S 40.809652°
W 45.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374610900878906 y=0.624366760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374610900878906 × 216)
    floor (0.374610900878906 × 65536)
    floor (24550.5)     		tx = 24550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624366760253906 × 216)
    floor (0.624366760253906 × 65536)
    floor (40918.5)     		ty = 40918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24550 / 40918 ti = "16/24550/40918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24550/40918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24550 ÷ 216
    24550 ÷ 65536     		x = 0.374603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40918 ÷ 216
    40918 ÷ 65536     		y = 0.624359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.25079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78789088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.24871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781371463806915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78789088} λ = -0.78789088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781371463806915))-π/2
    2×atan(0.457777754965736)-π/2
    2×0.429303053166786-π/2
    0.858606106333571-1.57079632675     		φ = -0.71219022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78789088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71219022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.805494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24550 KachelY 40918 -0.78789088 -0.71219022 -45.142822 -40.805494
    Oben rechts KachelX + 1 24551 KachelY 40918 -0.78779501 -0.71219022 -45.137329 -40.805494
    Unten links KachelX 24550 KachelY + 1 40919 -0.78789088 -0.71226279 -45.142822 -40.809652
    Unten rechts KachelX + 1 24551 KachelY + 1 40919 -0.78779501 -0.71226279 -45.137329 -40.809652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71219022--0.71226279) × R
    7.25700000000495e-05 × 6371000     		dl = 462.343470000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71219022--0.71226279) × R
    7.25700000000495e-05 × 6371000     		dr = 462.343470000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78789088--0.78779501) × cos(-0.71219022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756932398815603 × 6371000     		do = 462.325051913323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78789088--0.78779501) × cos(-0.71226279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75688497282201 × 6371000     		du = 462.296084696456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71219022)-sin(-0.71226279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756932398815603-0.75688497282201)×R²
    abs(-0.78779501--0.78789088)×4.74259935935306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74259935935306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74259935935306e-05×40589641000000     		ar = 213746.272462116m²