Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2455 / 1923
↖ ↑ ↗
← N 10.919618°
E 35.771484°		 ← 9 596.04 m → N 10.919618°
E 35.859375°		 →
↑
9 597.40 m
↓
↑
9 597.40 m
↓
N 10.833306°
E 35.771484°		 ← 9 598.81 m →
92 110 362 m²		 N 10.833306°
E 35.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5994873046875 y=0.4696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5994873046875 × 212)
    floor (0.5994873046875 × 4096)
    floor (2455.5)     		tx = 2455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4696044921875 × 212)
    floor (0.4696044921875 × 4096)
    floor (1923.5)     		ty = 1923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2455 / 1923 ti = "12/2455/1923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2455/1923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2455 ÷ 212
    2455 ÷ 4096     		x = 0.599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1923 ÷ 212
    1923 ÷ 4096     		y = 0.469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599365234375 × 2 - 1) × π
    0.19873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62433018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469482421875 × 2 - 1) × π
    0.06103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62433018} λ = 0.62433018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.191747598480225))-π/2
    2×atan(1.21136472807736)-π/2
    2×0.880689804882604-π/2
    1.76137960976521-1.57079632675     		φ = 0.19058328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62433018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19058328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.919618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2455 KachelY 1923 0.62433018 0.19058328 35.771484 10.919618
    Oben rechts KachelX + 1 2456 KachelY 1923 0.62586416 0.19058328 35.859375 10.919618
    Unten links KachelX 2455 KachelY + 1 1924 0.62433018 0.18907686 35.771484 10.833306
    Unten rechts KachelX + 1 2456 KachelY + 1 1924 0.62586416 0.18907686 35.859375 10.833306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19058328-0.18907686) × R
    0.00150641999999998 × 6371000     		dl = 9597.40181999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19058328-0.18907686) × R
    0.00150641999999998 × 6371000     		dr = 9597.40181999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62433018-0.62586416) × cos(0.19058328) × R
    0.00153398000000005 × 0.9818939104607 × 6371000     		do = 9596.03600991643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62433018-0.62586416) × cos(0.18907686) × R
    0.00153398000000005 × 0.982178159866999 × 6371000     		du = 9598.81397554956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19058328)-sin(0.18907686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818939104607-0.982178159866999)×R²
    abs(0.62586416-0.62433018)×0.000284249406299453×R²
    0.00153398000000005×0.000284249406299453×6371000²
    0.00153398000000005×0.000284249406299453×40589641000000     		ar = 92110361.5114156m²