Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24549 / 40605
↖ ↑ ↗
← S 39.491324°
W 45.148316°		 ← 471.41 m → S 39.491324°
W 45.142822°		 →
↑
471.39 m
↓
↑
471.39 m
↓
S 39.495563°
W 45.148316°		 ← 471.38 m →
222 210 m²		 S 39.495563°
W 45.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374595642089844 y=0.619590759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374595642089844 × 216)
    floor (0.374595642089844 × 65536)
    floor (24549.5)     		tx = 24549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619590759277344 × 216)
    floor (0.619590759277344 × 65536)
    floor (40605.5)     		ty = 40605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24549 / 40605 ti = "16/24549/40605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24549/40605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24549 ÷ 216
    24549 ÷ 65536     		x = 0.374588012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40605 ÷ 216
    40605 ÷ 65536     		y = 0.619583129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374588012695312 × 2 - 1) × π
    -0.250823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78798676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619583129882812 × 2 - 1) × π
    -0.239166259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75136296464476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78798676} λ = -0.78798676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75136296464476))-π/2
    2×atan(0.471723172382202)-π/2
    2×0.440771345898522-π/2
    0.881542691797043-1.57079632675     		φ = -0.68925363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78798676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.148316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68925363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.491324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24549 KachelY 40605 -0.78798676 -0.68925363 -45.148316 -39.491324
    Oben rechts KachelX + 1 24550 KachelY 40605 -0.78789088 -0.68925363 -45.142822 -39.491324
    Unten links KachelX 24549 KachelY + 1 40606 -0.78798676 -0.68932762 -45.148316 -39.495563
    Unten rechts KachelX + 1 24550 KachelY + 1 40606 -0.78789088 -0.68932762 -45.142822 -39.495563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68925363--0.68932762) × R
    7.39900000000793e-05 × 6371000     		dl = 471.390290000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68925363--0.68932762) × R
    7.39900000000793e-05 × 6371000     		dr = 471.390290000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78798676--0.78789088) × cos(-0.68925363) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771720892391396 × 6371000     		do = 471.406849264442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78798676--0.78789088) × cos(-0.68932762) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771673835497265 × 6371000     		du = 471.378104491018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68925363)-sin(-0.68932762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771720892391396-0.771673835497265)×R²
    abs(-0.78789088--0.78798676)×4.70568941308702e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70568941308702e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70568941308702e-05×40589641000000     		ar = 222209.836480854m²