Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24545 / 40713
↖ ↑ ↗
← S 39.947648°
W 45.170288°		 ← 468.25 m → S 39.947648°
W 45.164795°		 →
↑
468.27 m
↓
↑
468.27 m
↓
S 39.951859°
W 45.170288°		 ← 468.22 m →
219 260 m²		 S 39.951859°
W 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374534606933594 y=0.621238708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374534606933594 × 216)
    floor (0.374534606933594 × 65536)
    floor (24545.5)     		tx = 24545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621238708496094 × 216)
    floor (0.621238708496094 × 65536)
    floor (40713.5)     		ty = 40713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24545 / 40713 ti = "16/24545/40713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24545/40713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24545 ÷ 216
    24545 ÷ 65536     		x = 0.374526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40713 ÷ 216
    40713 ÷ 65536     		y = 0.621231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.250946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78837025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.242462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761717334962692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78837025} λ = -0.78837025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761717334962692))-π/2
    2×atan(0.466863976339442)-π/2
    2×0.436789171928496-π/2
    0.873578343856992-1.57079632675     		φ = -0.69721798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78837025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69721798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.947648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24545 KachelY 40713 -0.78837025 -0.69721798 -45.170288 -39.947648
    Oben rechts KachelX + 1 24546 KachelY 40713 -0.78827438 -0.69721798 -45.164795 -39.947648
    Unten links KachelX 24545 KachelY + 1 40714 -0.78837025 -0.69729148 -45.170288 -39.951859
    Unten rechts KachelX + 1 24546 KachelY + 1 40714 -0.78827438 -0.69729148 -45.164795 -39.951859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69721798--0.69729148) × R
    7.34999999999486e-05 × 6371000     		dl = 468.268499999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69721798--0.69729148) × R
    7.34999999999486e-05 × 6371000     		dr = 468.268499999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78837025--0.78827438) × cos(-0.69721798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766631451664996 × 6371000     		do = 468.249114774315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78837025--0.78827438) × cos(-0.69729148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766584256171053 × 6371000     		du = 468.220288343816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69721798)-sin(-0.69729148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766631451664996-0.766584256171053)×R²
    abs(-0.78827438--0.78837025)×4.71954939424979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71954939424979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71954939424979e-05×40589641000000     		ar = 219259.561445537m²