Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24544 / 25312
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E 89.648437°		 ← 427.14 m → S 69.534518°
E 89.659424°		 →
↑
427.05 m
↓
↑
427.05 m
↓
S 69.538358°
E 89.648437°		 ← 427.06 m →
182 392 m²		 S 69.538358°
E 89.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749038696289062 y=0.772476196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749038696289062 × 215)
    floor (0.749038696289062 × 32768)
    floor (24544.5)     		tx = 24544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772476196289062 × 215)
    floor (0.772476196289062 × 32768)
    floor (25312.5)     		ty = 25312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24544 / 25312 ti = "15/24544/25312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24544/25312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24544 ÷ 215
    24544 ÷ 32768     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25312 ÷ 215
    25312 ÷ 32768     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24544 KachelY 25312 1.56466040 -1.21360628 89.648437 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 24545 KachelY 25312 1.56485215 -1.21360628 89.659424 -69.534518
    Unten links KachelX 24544 KachelY + 1 25313 1.56466040 -1.21367331 89.648437 -69.538358
    Unten rechts KachelX + 1 24545 KachelY + 1 25313 1.56485215 -1.21367331 89.659424 -69.538358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21367331) × R
    6.70299999998569e-05 × 6371000     		dl = 427.048129999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21367331) × R
    6.70299999998569e-05 × 6371000     		dr = 427.048129999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56485215) × cos(-1.21360628) × R
    0.000191750000000157 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 427.137636363529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56485215) × cos(-1.21367331) × R
    0.000191750000000157 × 0.349580219654449 × 6371000     		du = 427.060917353846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21367331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349580219654449)×R²
    abs(1.56485215-1.56466040)×6.28000530297212e-05×R²
    0.000191750000000157×6.28000530297212e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.28000530297212e-05×40589641000000     		ar = 182391.947574573m²