Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24542 / 40917
↖ ↑ ↗
← S 40.801336°
W 45.186767°		 ← 462.35 m → S 40.801336°
W 45.181274°		 →
↑
462.34 m
↓
↑
462.34 m
↓
S 40.805494°
W 45.186767°		 ← 462.33 m →
213 760 m²		 S 40.805494°
W 45.181274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374488830566406 y=0.624351501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374488830566406 × 216)
    floor (0.374488830566406 × 65536)
    floor (24542.5)     		tx = 24542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624351501464844 × 216)
    floor (0.624351501464844 × 65536)
    floor (40917.5)     		ty = 40917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24542 / 40917 ti = "16/24542/40917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24542/40917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24542 ÷ 216
    24542 ÷ 65536     		x = 0.374481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40917 ÷ 216
    40917 ÷ 65536     		y = 0.624343872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.25103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78865787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.248687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.781275590007675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78865787} λ = -0.78865787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781275590007675))-π/2
    2×atan(0.457821645962277)-π/2
    2×0.429339339295864-π/2
    0.858678678591728-1.57079632675     		φ = -0.71211765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78865787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.186767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71211765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.801336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24542 KachelY 40917 -0.78865787 -0.71211765 -45.186767 -40.801336
    Oben rechts KachelX + 1 24543 KachelY 40917 -0.78856200 -0.71211765 -45.181274 -40.801336
    Unten links KachelX 24542 KachelY + 1 40918 -0.78865787 -0.71219022 -45.186767 -40.805494
    Unten rechts KachelX + 1 24543 KachelY + 1 40918 -0.78856200 -0.71219022 -45.181274 -40.805494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71211765--0.71219022) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dl = 462.343469999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71211765--0.71219022) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dr = 462.343469999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78865787--0.78856200) × cos(-0.71211765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756979820822884 × 6371000     		do = 462.354016695399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78865787--0.78856200) × cos(-0.71219022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756932398815603 × 6371000     		du = 462.325051913323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71211765)-sin(-0.71219022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756979820822884-0.756932398815603)×R²
    abs(-0.78856200--0.78865787)×4.74220072809173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74220072809173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74220072809173e-05×40589641000000     		ar = 213759.66470193m²