Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24539 / 41189
↖ ↑ ↗
← S 41.922716°
W 45.203247°		 ← 454.45 m → S 41.922716°
W 45.197754°		 →
↑
454.44 m
↓
↑
454.44 m
↓
S 41.926803°
W 45.203247°		 ← 454.43 m →
206 517 m²		 S 41.926803°
W 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374443054199219 y=0.628501892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374443054199219 × 216)
    floor (0.374443054199219 × 65536)
    floor (24539.5)     		tx = 24539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628501892089844 × 216)
    floor (0.628501892089844 × 65536)
    floor (41189.5)     		ty = 41189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24539 / 41189 ti = "16/24539/41189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24539/41189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24539 ÷ 216
    24539 ÷ 65536     		x = 0.374435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41189 ÷ 216
    41189 ÷ 65536     		y = 0.628494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374435424804688 × 2 - 1) × π
    -0.251129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78894549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.256988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.807353263400986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78894549} λ = -0.78894549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807353263400986))-π/2
    2×atan(0.446037047886888)-π/2
    2×0.419553449161705-π/2
    0.839106898323411-1.57079632675     		φ = -0.73168943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78894549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73168943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.922716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24539 KachelY 41189 -0.78894549 -0.73168943 -45.203247 -41.922716
    Oben rechts KachelX + 1 24540 KachelY 41189 -0.78884962 -0.73168943 -45.197754 -41.922716
    Unten links KachelX 24539 KachelY + 1 41190 -0.78894549 -0.73176076 -45.203247 -41.926803
    Unten rechts KachelX + 1 24540 KachelY + 1 41190 -0.78884962 -0.73176076 -45.197754 -41.926803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73168943--0.73176076) × R
    7.13300000000361e-05 × 6371000     		dl = 454.44343000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73168943--0.73176076) × R
    7.13300000000361e-05 × 6371000     		dr = 454.44343000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78894549--0.78884962) × cos(-0.73168943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.744046709884992 × 6371000     		do = 454.454630706481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78894549--0.78884962) × cos(-0.73176076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743999050450287 × 6371000     		du = 454.425520906639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73168943)-sin(-0.73176076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744046709884992-0.743999050450287)×R²
    abs(-0.78884962--0.78894549)×4.76594347045278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76594347045278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76594347045278e-05×40589641000000     		ar = 206517.30686662m²