Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24539 / 25269
↖ ↑ ↗
← S 69.368703°
E 89.593506°		 ← 430.43 m → S 69.368703°
E 89.604492°		 →
↑
430.42 m
↓
↑
430.42 m
↓
S 69.372574°
E 89.593506°		 ← 430.35 m →
185 249 m²		 S 69.372574°
E 89.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748886108398438 y=0.771163940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748886108398438 × 215)
    floor (0.748886108398438 × 32768)
    floor (24539.5)     		tx = 24539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771163940429688 × 215)
    floor (0.771163940429688 × 32768)
    floor (25269.5)     		ty = 25269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24539 / 25269 ti = "15/24539/25269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24539/25269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24539 ÷ 215
    24539 ÷ 32768     		x = 0.748870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25269 ÷ 215
    25269 ÷ 32768     		y = 0.771148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748870849609375 × 2 - 1) × π
    0.49774169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56370167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.54229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7036774124968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56370167} λ = 1.56370167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7036774124968))-π/2
    2×atan(0.182012955113419)-π/2
    2×0.180042033877066-π/2
    0.360084067754133-1.57079632675     		φ = -1.21071226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56370167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.593506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21071226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.368703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24539 KachelY 25269 1.56370167 -1.21071226 89.593506 -69.368703
    Oben rechts KachelX + 1 24540 KachelY 25269 1.56389341 -1.21071226 89.604492 -69.368703
    Unten links KachelX 24539 KachelY + 1 25270 1.56370167 -1.21077982 89.593506 -69.372574
    Unten rechts KachelX + 1 24540 KachelY + 1 25270 1.56389341 -1.21077982 89.604492 -69.372574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21071226--1.21077982) × R
    6.75599999999665e-05 × 6371000     		dl = 430.424759999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21071226--1.21077982) × R
    6.75599999999665e-05 × 6371000     		dr = 430.424759999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56370167-1.56389341) × cos(-1.21071226) × R
    0.000191739999999996 × 0.352352909876517 × 6371000     		do = 430.425696152968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56370167-1.56389341) × cos(-1.21077982) × R
    0.000191739999999996 × 0.352289681884009 × 6371000     		du = 430.348458383877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21071226)-sin(-1.21077982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352352909876517-0.352289681884009)×R²
    abs(1.56389341-1.56370167)×6.32279925076862e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32279925076862e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32279925076862e-05×40589641000000     		ar = 185249.254510902m²