Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24537 / 40701
↖ ↑ ↗
← S 39.897094°
W 45.214233°		 ← 468.59 m → S 39.897094°
W 45.208740°		 →
↑
468.59 m
↓
↑
468.59 m
↓
S 39.901309°
W 45.214233°		 ← 468.57 m →
219 571 m²		 S 39.901309°
W 45.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374412536621094 y=0.621055603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374412536621094 × 216)
    floor (0.374412536621094 × 65536)
    floor (24537.5)     		tx = 24537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621055603027344 × 216)
    floor (0.621055603027344 × 65536)
    floor (40701.5)     		ty = 40701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24537 / 40701 ti = "16/24537/40701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24537/40701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24537 ÷ 216
    24537 ÷ 65536     		x = 0.374404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40701 ÷ 216
    40701 ÷ 65536     		y = 0.621047973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.251190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78913724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621047973632812 × 2 - 1) × π
    -0.242095947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.760566849371811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78913724} λ = -0.78913724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760566849371811))-π/2
    2×atan(0.467401405710217)-π/2
    2×0.437230334015397-π/2
    0.874460668030794-1.57079632675     		φ = -0.69633566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78913724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.214233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69633566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.897094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24537 KachelY 40701 -0.78913724 -0.69633566 -45.214233 -39.897094
    Oben rechts KachelX + 1 24538 KachelY 40701 -0.78904137 -0.69633566 -45.208740 -39.897094
    Unten links KachelX 24537 KachelY + 1 40702 -0.78913724 -0.69640921 -45.214233 -39.901309
    Unten rechts KachelX + 1 24538 KachelY + 1 40702 -0.78904137 -0.69640921 -45.208740 -39.901309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69633566--0.69640921) × R
    7.35499999999778e-05 × 6371000     		dl = 468.587049999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69633566--0.69640921) × R
    7.35499999999778e-05 × 6371000     		dr = 468.587049999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78913724--0.78904137) × cos(-0.69633566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767197679731171 × 6371000     		do = 468.594959952166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78913724--0.78904137) × cos(-0.69640921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767150501897154 × 6371000     		du = 468.566144308133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69633566)-sin(-0.69640921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767197679731171-0.767150501897154)×R²
    abs(-0.78904137--0.78913724)×4.7177834017087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7177834017087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7177834017087e-05×40589641000000     		ar = 219570.778708868m²