Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24536 / 41144
↖ ↑ ↗
← S 41.738529°
W 45.219727°		 ← 455.81 m → S 41.738529°
W 45.214233°		 →
↑
455.72 m
↓
↑
455.72 m
↓
S 41.742627°
W 45.219727°		 ← 455.78 m →
207 715 m²		 S 41.742627°
W 45.214233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374397277832031 y=0.627815246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374397277832031 × 216)
    floor (0.374397277832031 × 65536)
    floor (24536.5)     		tx = 24536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627815246582031 × 216)
    floor (0.627815246582031 × 65536)
    floor (41144.5)     		ty = 41144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24536 / 41144 ti = "16/24536/41144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24536/41144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24536 ÷ 216
    24536 ÷ 65536     		x = 0.3743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41144 ÷ 216
    41144 ÷ 65536     		y = 0.6278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78923312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78923312} λ = -0.78923312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803038942435181))-π/2
    2×atan(0.447965551975595)-π/2
    2×0.421160790042159-π/2
    0.842321580084317-1.57079632675     		φ = -0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78923312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24536 KachelY 41144 -0.78923312 -0.72847475 -45.219727 -41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 24537 KachelY 41144 -0.78913724 -0.72847475 -45.214233 -41.738529
    Unten links KachelX 24536 KachelY + 1 41145 -0.78923312 -0.72854628 -45.219727 -41.742627
    Unten rechts KachelX + 1 24537 KachelY + 1 41145 -0.78913724 -0.72854628 -45.214233 -41.742627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72847475--0.72854628) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dl = 455.717630000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72847475--0.72854628) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dr = 455.717630000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78923312--0.78913724) × cos(-0.72847475) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 455.811680067123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78923312--0.78913724) × cos(-0.72854628) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746143056340136 × 6371000     		du = 455.782590257324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72847475)-sin(-0.72854628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746143056340136)×R²
    abs(-0.78913724--0.78923312)×4.76217390833478e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76217390833478e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76217390833478e-05×40589641000000     		ar = 207714.79028553m²